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Technische Mechanik

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Catégories:
Année:
1992
Editeur::
Fachbuchverlag Leipzig
Langue:
german
Pages:
330
ISBN 10:
3446171495
ISBN 13:
9783446171497
Fichier:
DJVU, 3,77 MB
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1

Theoretische Mechanik

Année:
1967
Langue:
german
Fichier:
DJVU, 11,03 MB
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2

Technische Mechanik

Année:
2006
Langue:
german
Fichier:
DJVU, 3,51 MB
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Technische Mechanik fester Körper Von Dr. Hans Georg Hahn o. Prof. an der Universität Kaiserslautern 2., durchgesehene Auflage Mit 531 Bildern und 3 Tabellen Carl Hanser Verlag München Wien

VII Vorwort Vorliegendes Buch stellt eine Zusammenfassung und Erweiterung der Vorlesungen über Technische Mechanik dar, die ich seit langem an der Universität Kaiserslautern für die Studenten aller Ingenieurfachbereiche im Grundstudium halte. Der Text ist vorwiegend für Interessenten gedacht, die erstmals mit dem Fachgebiet in Berührung kommen. Erfahrungsgemäß bereitet die Technische Mechanik den Studierenden am Anfang ziemliche Schwierigkeiten (und ist daher im allgemeinen dementsprechend unbeliebt). Dies ist bedingt durch die zunächst neu auftauchenden abstrakten Begriffe und deren Anwendungen auf die Wirklichkeit. Es zeigt sich immer wieder, daß gerade die einfachen Elementarbegriffe und Grundgesetze wichtig sind. Werden diese richtig verstanden, dann ist ihre Anwendung auf komplizierte technische Vorgänge nicht allzu schwierig. Das Buch will einerseits dazu dienen, über die erwähnten Schwierigkeiten hinwegzuhelfen, andererseits das Verständnis der Vorlesungen zu erleichtern. Der Verfasser war bemüht, in der Stoffauswahl und dessen Darbietung einen Weg einzuschlagen, der am sichersten zum schrittweisen Verstehen führen kann. Hierzu dient vor allem das Festhalten an der (didaktisch erfolgreichen) traditionellen Gliederung des Stoffgebiets in Statik, Festigkeitslehre, Kinematik und Kinetik, wie sie sich in vielen Mechanikbüchern findet und bewährt hat. Sie ist mit der zunehmenden Erweiterung der Mathematikkenntnisse bei den Studenten am besten vereinbar. Letztlich ist es das Ziel, die fundamentalen Gesetze und die Methoden der Technischen Mechanik den Studierenden verständlich zu machen um sie damit zur Lösung von Ingenieurproblemen zu befähigen. Bewußt wurde davon Abstand genommen, Übungsaufgaben und Lösungen im Buch aufzunehmen, da es verschiedene umfangreiche und vorzügliche Aufgabensammlungen gibt (vgl. die Auswahl;  auf Seite 310). Im Text kommen hingegen charakteristische Beispiele zu einzelnen Sachverhalten vor, die dem Verstehen des Stoffs dienen können. Bei der Fertigstellung des Manuskripts wurde ich von meinen Assistenten bestens unterstützt. Ich danke herzlich vor allem Herrn Oberingenieur Dr.-Ing. C. P. Fritzen und Herrn Dipl.-Ing. F. J. Barth für wertvolle Kritik und manche Verbesserangsvorschläge sowie für die unermüdliche und sorgfältige Mithilfe beim Lesen der Korrekturen. Weiterhin gilt mein besonderer Dank Frau E. Jeblick für umfangreiche Schreibund Kopierarbeiten. Nicht zuletzt bin ich dem Hanser-Verlag verbunden. Bereitwillig wurde auf meine besonderen Wünsche eingegangen, die Zusammenarbeit mit Frau M. Schneider war vorzüglich. Kaiserslautern, im August 1990 H. G. Hahn Bemerkung zu den Bezeichnungen Eine einheitliche und eindeutige Festlegung von Bezeichnungen und Symbolen läßt sich nicht durchführen. Daher müssen gleiche Schriftzeichen zur Kennzeichnung verschiedener Größen verwendet werden, z. B. steht der kleine Buchstabe a sowohl für den Betrag der Beschleunigung als auch gelegentlich für eine Fläche oder eine Länge. Aus dem jeweiligen Text ist indes leicht zu erkennen, welche Größen gemeint sind und was die Bezeichnungen bedeuten. Die Gefahr von Verwechslungen (beispielsweise von i als Trägheitsradius oder i = ]/ —1 als imaginäre Einheit) dürfte in keinem Fall aufkommen. Vektorielle (gerichtete) Größen sind symbolisch durch darübergesetzte Pfeile gekennzeichnet.

X Inhaltsverzeichnis 2.8.1.1 Grundlegende Betrachtungen: Kräftemittelpunkt, Massenmittelpunkt, Satz der statischen Momente 74 2.8.1.2 Schwerpunkt von festen Körpern mit stetiger Massenverteilung 76 2.8.1.3 Schwerpunkt von Flächen und Linien 77 2.8.1.4 Drehflächen und Drehkörper, Pappus-Guldinsche Regeln 79 2.8.2 Flächenträgheitsmomente 80 2.8.2.1 Definitionen 80 2.8.2.2 Parallelverschiebung der Achsen 82 2.8.2.3 Flächenträgheitsmomente als Tensorkomponenten, Drehung des Koordinatensystems 82 2.9 Reibungserscheinungen bei festen Körpern 84 2.9.1 Reibungskräfte, Haft- und Gleitreibung 84 2.9.2 Haftreibung 85 2.9.2.1 Statikprobleme mit Haftreibung 86 2.9.3 Gleitreibung 87 2.9.3.1 Einfache Bewegungsvorgänge mit Gleitreibung 87 2.9.4 Weitere Reibungserscheinungen 88 2.9.4.1 Seilreibung 88 2.9.4.2 Trockene Zapfen- oder Lagerreibung 89 2.9.4.3 Rollende Reibung 91 3 Elastostatik und elementare Festigkeitslehre 92 3.1 Grundlegende Betrachtungen 92 3.1.1 Elementare Belastungs- und Verformungsarten 92 3.1.2 Statisch unbestimmte Probleme 94 3.2 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetz 94 3.2.1 Spannung als innere Kraftwirkung 94 3.2.2 Normal- und Schubspannungen \. . 95 3.2.3 Einachsiger Spannungszustand j. . 97 3.2.4 Verschiebungen und Verzerrungen 98 3.2.4.1 Verformung bei einachsigem Zug und bei reinem Schub 98 3.2.5 Stoffgesetz 99 3.2.5.1 Zugversuch, Spannungs-Dehnungskurve 99 3.2.5.2 Verschiedene Arten des Materialverhaltens 101 3.2.5.3 Hookesches Gesetz 101 3.2.5.4 Wärmedehnung und Wärmespannung 103 3.3 Statisch unbestimmte Systeme mit Stäben 103 3.3.1 Vorbemerkung: Berechnung von Verformungen in einfachen Stabverbänden. . . 103 3.3.2 Statisch unbestimmte Stabverbände 104 3.3.2.1 Verschiebungsmethode 105 3.3.2.2 Überlagerungsmethode (mitunter als Kraftmethode bezeichnet) 105 3.4 Mehrachsige Spannungs- und Verzerrungszustände 106 3.4.1 Zweiachsiger Spannungszustand 106 3.4.1.1 Sonderfälle : 107 3.4.1.2 Realisierung des zweiachsigen Spannungszustands 107 3.4.2 Allgemeiner ebener Spannungszustand 108 3.4.2.1 Spannungstensor 109 3.4.2.2 Haupt-Normalspannungen 110 3.4.2.3 Haupt-Schubspannungen 110 3.4.2.4 Mohrscher Spannungskreis 111 3.4.3 Gleichgewichtsbedingungen für ebenes Spannungsfeld 113 3.4.4 Verformungen im ebenen Fall, Verzerrungstensor 114

Inhaltsverzeichnis XI 3.4.5 Dreiachsiger Spannungs-und Verzerrungszustand 115 3.4.5.1 Spannungen 115 3.4.5.2 Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen 117 3.4.5.3 Verschiebungen und Verzerrungen 117 3.4.6 Verallgemeinertes Hookesches Gesetz 117 3.4.6.1 Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten bei Isotropie. ... 119 3.4.6.2 Ebene (zweidimensionale) Sonderfälle 119 3.4.6.3 Deviatorkomponenten der Spannungen und Verzerrungen 120 3.4.7 Grundgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie 121 3.5 Reine Torsion von Wellen 122 3.5.1 Theorie von Coulomb für Kreis- und Kreisringquerschnitte 122 3.5.2 Dünnwandige geschlossene Querschnitte 123 3.6 Spannungen bei Balkenbiegung 124 3.6.1 Übersicht 124 3.6.2 Reine oder querkraftfreie Biegung ." 125 3.6.3 Querkraftbiegung 128 3.7 Verformungen bei Balkenbiegung 131 3.7.1 Biegelinie (elastische Linie) des Balkens 131 3.7.2 Beispiele zur Berechnung der Biegelinie von Balken 133 3.7.3 Anwendungen der Überlagerungsmethode zur Ermittlung von Durchbiegungen und Verdrehungen 137 3.8 Ergänzungen zur Torsion und Biegung 139 3.8.1 Dünnwandige geschlossene und offene Profile bei Torsion 139 3.8.2 Zweiachsige oder schiefe Biegung 142 3.8.3 Querkraftschub 144 3.8.3.1 Dünnwandige geschlossene Profile \ 144 3.8.3.2 Dünnwandige offene Profile 147 3.8.3.3 Lage des Schubmittelpunkts 148 3.9 Energiemethoden und Anwendungen 150 3.9.1 Verformungsarbeit und elastische Energie 150 3.9.1.1 Elastische Energiedichte bei einachsigem Zug und reinem Schub 151 3.9.1.2 Elastische Energie für Zugstab, Torsionsstab und Biegebalken 152 3.9.1.3 Anwendung des Arbeitssatzes 152 3.9.1.4 Elastische Energiedichte bei allgemeinen Spannungszuständen 153 3.9.2 Sätze von Castigliano 154 3.9.2.1 Vorbemerkung 154 3.9.2.2 Zweiter Satz von Castigliano 154 3.9.2.3 Erster Satz von Castigliano 155 3.9.3 Einflußzahlen bei Balken ? 155 3.9.3.1 Beispiele für Einflußzahlen 156 3.9.3.2 Beweis des Zweiten Satzes von Castigliano für Biegebalken 157 3.9.4 Berechnung der Verformungen in statisch bestimmten elastischen Systemen ... 158 3.9.4.1 Verformung von Stabverbänden 158 3.9.4.2 Verformung von Balken 158 3.9.4.3 Verformung von Rahmen und Bogen trägem 160 3.10 Statisch unbestimmte Systeme 161 3.10.1 Balkenprobleme, Lösung mittels der Gleichung der Biegelinie 161 3.10.2 Lösung mit der Überlagerungsmethode 162 3.10.3 Anwendung der Sätze von Castigliano 164 3.10.3.1 Statisch unbestimmter Stabverband 164 3.10.3.2 Satz von Menabrea und Minimumprinzip 165 3.10.3.3 Anwendung für äußerlich statisch unbestimmte Systeme 167 3.10.3.4 Innerlich statisch unbestimmte Systeme 171

XII Inhaltsverzeichnis 3.11 Elastische Stabilität, Ausknicken von Stäben 173 3.11.1 Allgemeine Übersicht 174 3.11.2 Biegeknicken eines Balkens 174 3.11.3 Eulerscher Knickstab 176 3.11.3.1 Beidseitig gelenkige Lagerung 177 3.11.3.2 Weitere Lagerungsarten 178 3.11.3.3 Gültigkeitsbereich und Anwendung der Eulerschen Knicktheorie . . 180 3.12 Festigkeitshypothesen 181 3.12.1 Versagen von Bauteilen 181 3.12.2 Zusammengesetzte Beanspruchung, Vergleichsspannung 182 3.12.3 Festigkeitshypothesen und zugehörige Vergleichsspannungen 182 3.12.3.1 Hypothese der maximalen Normalspannung 182 3.12.3.2 Hypothese der maximalen Schubspannung 183 3.12.3.3 Hypothese der maximalen Gestaltänderungsenergie (Oktaeder-Schubspannungshypothese) 183

1 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik 1.1 Aufgabe der Mechanik und Einteilung Die Mechanik ist ein Teil der Physik, nach dem berühmten Physiker Sommerfeld stellt sie das Rückgrat der Physik dar. Die Mechanik ist auch der älteste Teil der Physik, der mit den Formulierungen von Newton bereits im 17. Jahrhundert einen gewissen Abschluß („Klassische Mechanik") erreicht hat. Die Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen und Verformungen materieller Körper im Zusammenhang mit den Kräften, welche diese hervorrufen: Es werden die Bewegungsgesetze aufgestellt. Als Naturwissenschaft ist die Mechanik eine Erfahrungswissenschaft, alle ihre Ergebnisse werden aus Versuchen gewonnen. Die Brauchbarkeit aller in der Mechanik entwickelten an- wendungsbezogenen Theorien kann einzig und allein durch Experimente festgestellt werden. Grundlagen der Mechanik sind axiomatische Erfahrungssätze, die das reale Verhalten der Körper unter Verwendung bestimmter Abstraktionen bzw. Idealisierungen hinlänglich genau zu beschreiben vermögen. Der einfachste materielle Körper ist ein materieller Punkt (auch Massenpunkt genannt). Es ist ein mit Materie behafteter Körper, dessen eigene Ausdehnungen verschwindend klein gegen die Abmessungen sind, die bei seiner Bewegung eine Rolle spielen. Solche Gebilde gibt es in Wirklichkeit nicht, gleichwohl ist die Abstraktion sehr wichtig zur Erfassung der in der Natur beobachteten mechanischen Vorgänge. Eine weitere wichtige Idealisierung ist der starre Körper, der für Betrachtungen eingeführt werden kann, bei denen die real vorhandene Verformbarkeit aller materiellen Körper belanglos ist. Als Modell für die bekanntlich diskret aufgebaute Materie wird in der Mechanik das Kontinuum verwendet. Dies ist eine weitere Abstraktion, die zur Erfassung des mannigfachen Materialverhaltens der Körper große Bedeutung hat. Die Verformbarkeit des Kontinuums wird dabei als elastisch, plastisch, viskoelastisch etc. angesehen, entsprechende Formulierungen werden aufgestellt, die zur Beschreibung der jeweils betrachteten Vorgänge nützlich sind. Das Gesamtgebiet der Mechanik läßt sich einteilen in die beiden Hauptgebiete Kinematik und Dynamik. In der Kinematik, die auch als Bewegungsgeometrie bezeichnet werden kann, werden allein die Bewegungen materieller Körper (Massenpunkte, starre oder verformbare Körper) untersucht, die Ursachen der Bewegungen und die beteiligten Kräfte werden dabei ignoriert. Die Dynamik, als eigentliche Lehre von den Kräften wird unterteilt in die Statik und die Kinetik. In der Statik (oder Gleichgewichtslehre) wird die Verteilung der Kräfte an Körpern untersucht, die sich in Ruhe befinden, also keine Bewegung ausführen. Die Statik ist historisch der älteste Teil der Mechanik, zu dem schon die griechischen Naturphilosophen im Altertum Beiträge geliefert haben. Man darf die Statik auch als die Grundlage aller Ingenieurwissenschaften auffassen, sie bildet die Basis der gesamten Mechanik, wie sie heute betrieben wird. In der Kinetik schließlich werden die Zusammenhänge zwischen den Bewegungen der Körper und den damit verknüpften Kraftwirkungen behandelt, man kann sie auch als die Bewegungslehre an sich bezeichnen. Mitunter ist eine Einteilung der Mechanik nach den Aggregatzuständen (fest, flüssig, gasförmig) der materiellen Körper zweckmäßig. Dementsprechend sind die Gebiete Stereomechanik (Mechanik der starren Körper), Elasto-, Plasto- und Fluidmechanik zu unterscheiden. Das letztere Gebiet beschäftigt sich speziell mit der Kinematik bzw. Dynamik tropfbarer Flüssigkeiten und Gase. Hierfür sind kennzeichnend die Wissensgebiete Hydrodynamik, Aerodynamik, Gasdynamik. Die Technische Mechanik stellt neben materialwissenschaftlichen und konstruktiven Fächern die wichtigste grundlegende Ingenieurwissenschaft dar. Es werden Verfahren zur Berechnung technischer Konstruktionen aufgestellt mit denen das Bewegungsverhalten und die Beanspruchung von Bauwerken und Maschinen untersucht werden kann. Die Bauteile der Technik müssen statisch und dynamisch derart analysiert werden, daß sie bestimmte Bewegungen ausführen können (oder nicht) und dabei bestimmte Belastungen ertragen können. Die Hauptaufgaben des Ingenieurs, die mit Hilfe der Technischen Mechanik gelöst werden, bestehen in der Umsetzung eines realen technischen Systems in ein geeignetes mechanisches Modell unter Berück-

2 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik sichtigung bestimmter Fragestellungen, wobei die bereits erwähnten Abstraktionen und Idealisierungen (d.h. Beschränkung auf das Wesentliche) herangezogen werden. Die Benutzung der Erkenntnisse der Mathematik und modernen Rechentechnik soll dann die Lösung der an den technischen Fragestellungen orientierten Probleme liefern. In den Grundlagen der Technischen Mechanik werden zur Untersuchung elementarer Probleme meist die vereinfachenden Modelle bereits angegeben. Das Problem der Modellbildung komplizierterer technischer Systeme ist dann der nächste Schritt, der unter weiterführender Anwendung der wesentlichen mechanischen Gesetzmäßigkeiten zu erfolgen hat. 1.2 Wichtige Begriffe der Mechanik 1.2.1 Bewegung im Raum, Koordinaten Die Bewegungen der materiellen Körper erfolgen im Raum und laufen in der Zeit ab. Als grundlegende Annahmen sollen gelten (wie in der klassischen Mechanik) - Existenz eines völlig ruhenden Raums („absoluter Raum"), in dem ein raumfestes Bezugssystem (Koordinatensystem) errichtet werden kann - Existenz einer gleichmäßig fließenden Zeit („absolute Zeit") unabhängig von physikalischen Zustandsgrößen - vollkommene Erhaltung der Materiemenge (oder Masse). Die Beschreibung der Bewegung im Raum erfolgt unter Zugrundelegung eines Bezugssystems, von dem aus die Bewegung beobachtet wird. Als solches Bezugssystem kann z.B. ein Kartesisches Koordinatensystem (geradlinig, orthogonal, Rechtssystem) verwendet werden. Die Wahl dieses Bezugssystems ist willkürlich, es kann z.B. fest mit der Erde verankert sein. Allemal muß aber die Beschreibung physikalischer Ereignisse unabhängig vom jeweils verwendeten Koordinatensystem sein. Die raumfesten Achsen des Kartesischen Koordinatensystems werden mit x, y, z bezeichnet (Bild 1.1). Es soll im folgenden stets ein sog. Rechtssystem verwendet werden, d.h. die drei Achsen sind derart orientiert, daß bei der Drehung der x- in die y-Achse (auf dem kürzesten Weg) die z-Achse im Sinn der Fortschreitungsrichtung einer „Rechtsschraube" gerichtet ist (symbolisch in Bild 1.1 dargestellt). Ein Punkt P hat in seiner Augenblickslage die drei Koordinaten xp, yp, zp, diese geben seine Lage im Raum eindeutig an. Bild 1.1 Kartesisches Koordinatensystem Bahn eines bewegten Punkts P Bewegt sich der Punkt P (z.B. nach P'\ so bezeichnet man die stetige Aufeinanderfolge seiner Aufenthaltsorte als Bahn des Punkts. Die Bewegung des Punkts P ist bekannt, wenn die zeitabhängigen Beziehungen x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1.1) gegeben sind (sog. Parameterdarstellung der Bahnkurve). Bei der Bewegung von Körpern treten als wichtige Grundgrößen die Länge und die Zeit auf. Es sei bereits hier auf die wichtige Tatsache hingewiesen, daß Bewegungen bzw. Bewegungsänderungen durch Kräfte hervorgerufen werden. 1.2.2 Kraftbegriff Die Kraft ist eine physikalische Größe, die sich der unmittelbaren Beobachtung entzieht. Man kann aber sehr wohl die Wirkungen von Kräften erkennen. Zunächst kann der Kraftbegriff aus der Erfahrung entnommen werden, wenn man an das menschliche „Muskelgefühl" denkt. Auch der Begriff der Schwerkraft oder des Gewichts ist aus der täglichen Erfahrung bekannt. Die Wirkung von Kräften besteht darin, daß festgehaltene Körper verformt werden (z. B. Federwaage) bzw. bewegliche Körper in Bewegung versetzt werden können. Es wird später gezeigt werden, daß sich Kräfte durch Vergleich mit der Schwerkraft messen lassen. Außerdem gilt, daß eine Kraft durch ihre Größe und die Richtung ihrer Wirkung gekenn-

1.2 Wichtige Begriffe der Mechanik 3 zeichnet ist. Eine Kraft ist eine gerichtete Größe, ein sog. Vektor. Eine Einteilung der in der Natur vorkommenden Kräfte ergibt - Volumenkraft (z.B. Schwerkraft oder Gewicht) - Flächenkraft (z.B. Wasserdruck auf Staumauer) - Linienkraft (z. B. Schneidenlast) - Punkt- oder Einzelkraft (z.B. Nadelbelastung). Linien- und Punktkräfte sind wichtige Idealisierungen in der Mechanik, in Wirklichkeit treten immer flächenhaft verteilte Kräfte auf. Es sind weitere Einteilungen der Kräfte möglich. Man unterscheidet äußere oder eingeprägte Kräfte (Lasten) von den sog. Reaktions- oder Auflagerkräften. Ferner unterscheidet man von den äußeren Kräften die inneren Kräfte. Diese beschreiben den Mechanismus der Kraftweiterleitung in belasteten Körpern und geben gewissermaßen die innere Beanspruchung von Bauteilen an. Die Ermittlung der inneren Kräfte in Tragwerken ist eine wichtige Aufgabe der Statik, da hierdurch wesentliche Aussagen für die Dimensionierung und Bemessung von Bauteilen gewonnen werden können. 1.2.3 Größen in der Mechanik Die in der Mechanik (und allgemein in der Physik) vorkommenden Größen sind skalare oder nicht-skalare Größen. Skalare Größen (oder Skalare) sind bestimmt durch die Angabe einer Maßzahl und der Maßeinheit (Beispiel: Temperatur, Zeit, Dichte). Es handelt sich um Größen, die unabhängig von der Wahl des zugrundegelegten räumlichen Bezugssystems sind (sog. Invarianten). Daneben gibt es Größen, die nicht durch eine einzige Zahlenangabe bestimmt sind, d.h. man benötigt mehrere Maßzahlen zur Kennzeichnung einer physikalischen Größe. Hierzu gehören die Vektoren, sie sind bestimmt durch die Angabe dreier Maßzahlen (Komponenten) und der Maßeinheit. Es sind gerichtete Größen wie z. B. die Kraft (andere Vektoren sind Geschwindigkeit, Beschleunigung usw.). Die Komponenten eines Vektors sind abhängig von der Wahl des räumlichen Bezugssystems, hierfür müssen bestimmte Transformationsgesetze gelten. Zu den nicht-skalaren Größen zählen auch die sog. Tensoren verschiedener Stufe, die mehr Komponenten aufweisen als die Vektoren und für die kompliziertere Transformationsgesetze beim Wechsel von Koordinatensystemen gelten. In der Mechanik kommen hauptsächlich Tensoren 2. Stufe (auch Affinoren genannt) vor, es sind Größen, die das Verformungsverhalten deformierbarer Körper (Spannungs- und Verzerrungstensor) oder das dynamische Verhalten starrer Körper (Tensor der Massenträgheitsmomente) beschreiben. Es sei folgende Terminologie angemerkt Skalar = Tensor 0. Stufe Vektor = Tensor 1. Stufe Affinor = Tensor 2. Stufe. Wesentlich ist, daß Tensorgleichungen stets unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem sind und somit der Forderung genügen, daß physikalische Gesetze immer unabhängig von einem speziellen Bezugssystem sein müssen. 1.2.4 Wichtige Regeln der Vektorrechnung Die Vektorrechnung (Vektoralgebra und Vek- toranalysis) ist eine wichtige Rechenmethode der Mechanik (größtenteils von Physikern entwickelt). Als Beispiel für einen Vektor, d.h. eine gerichtete Größe, wurde bereits die Kraft genannt. Ihre Darstellung erfolgt mit einem Pfeil gemäß Bild 1.2. 7 >* Bild 1.2 Kraft als gerichtete /*^ l7l*f Größe (Kraftvektor) s' Anfangspunkt A (Kraftan- k griffspunkt) Eine Kraft ist gekennzeichnet durch Größe und Richtung, sie wird als gerichtete Größe dargestellt. Vektoren sollen im folgenden durch Buchstaben mit darübergesetztem Pfeil geschrieben werden. Dann kennzeichnet /gleichzeitig Größe und Richtung, F nur die Größe der Kraft. Die Länge des Kraftpfeils stellt in einem bestimmten Kräftemaßstab die Größe (den Betrag) der Kraft dar.

4 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik Gegenüber höheren nicht-skalaren Größen (Tensoren) besitzt der Vektor den Vorteil einer einfachen geometrischen Veranschaulichung durch einen Pfeil (gerichtete Strecke). Bei den Vektoren unterscheidet man - freie Vektoren: Lage des Anfangspunkts unwesentlich - linienflüchtige Vektoren: Anfangspunkt auf der Richtungsgeraden verschieblich - gebundene Vektoren: Anfangspunkt ist fest. Im folgenden sollen wichtige Rechenregeln für Vektoren (es handelt sich um freie Vektoren, die beliebig im Raum parallel zu sich selbst verschoben werden können) angegeben werden. Die Rechnung mit den gerichteten Größen hat unmittelbar eine anschauliche Bedeutung, es ist ganz abwegig, sie als reine Abkürzungsrechnung („Rechenstenografie") bezeichnen zu wollen. Es handelt sich um ein geometrisches Rechenverfahren, dessen Objekte Strecken sind. 1.2.4.1 Gleichheit von Vektoren, Addition und Subtraktion, Komponentendarstellung Die Gleichheit zweier Vektoren Ä=S bedeutet, daß sie in Betrag, Richtung und Richtungssinn übereinstimmen. Für zwei, im Betrag und der Richtung übereinstimmende Vektoren, die jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben, gilt Ein spezieller Vektor ist der Einheitsvektor (Einsvektor) mit dem Betrag „Eins", für den häufig die Bezeichnung e verwendet wird. Es gilt dann für einen beliebigen Vektor Ä die Darstellung Ä = AeA mit* A = \A\, |eAl = l, CaM- AIs Summe zweier Vektoren Ä und S definiert man einen Vektor C, den man erhält, wenn man an den Endpunkt von Ä den Vektor B anträgt und vom Anfangspunkt von Ä einen Vektor zum Endpunkt von B zieht (vgl. Bild 1.3). Es gilt Ä+B=C. Wie auch die gewöhnliche Zahlensumme ist die Vektorsumme kommutativ, d.h. Ä + S = B + Ä. Bild 1.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren Ferner gilt für eine aus mehreren Summanden bestehenden Summe das Assoziativgesetz Ä+S+C=(Ä + B) + C = Ä+(B+ C) = S+(Ä+C). Die Differenz zweier Vektoren ist entsprechend definiert B = c-Ä= C+(-Ä). Aus Bild 1.3 geht hervor, daß man den Vektor B erhält, wenn man an den Endpunkt von C den Vektor Ä in umgekehrter Richtung anträgt und den Anfangspunkt von C mit dem Endpunkt von — Ä verbindet. Man erkennt außerdem, daß die Multiplikation eines Vektors mit (— 1) Richtungsumkehr bedeutet. Zur Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene bei Bezugnahme auf ein Kartesisches Koordinatensystem werden die Basisvektoren ex und ey (Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x und y) eingeführt (Bild 1.4). Bild 1.4 Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene Basisvektoren des Kartesischen Koordinatensystems Als Komponenten Ax und Ay des Vektors Ä bezeichnet man die Projektionen auf die Achsen, d.h. Ax = A cos a Ay = A sin a und es gilt JM. ~~~ t. "--W I t-y /ly ■ (1.2) (1.3)

1.2 Wichtige Begriffe der Mechanik 5 Der Betrag von Ä ist \Ä\ = A = ]/A2x+A*y. Der Vektorsumme Ä + B=C entsprechen die Komponentengleichungen AX + BX = CX Ay + By = Cy und man erkennt, daß in der Ebene jeder Vektorgleichung zwei skalare Gleichungen in den Komponenten entsprechen. Verallgemeinert für den Raum bedeutet dies, daß eine Vektorgleichung drei skalare Gleichungen ersetzt. Die Lage eines Punkts im Raum (vgl. Bild 1.1) kann durch die Angabe seines Ortsvektors r vom Koordinatennullpunkt aus gemäß r = ex x + eyy + ezz , (1.4) festgelegt werden. Die Koordinaten des Punkts P entsprechen den Komponenten des Ortsvektors (Bild 1.5a). Analog ist der Ortsvektor z.B. in einem Zylinderkoordinatensystem r, cp, z definiert (Bild 1.5 b). Es gilt hierfür r = e, r + ez z mit den entsprechenden Basisvektoren er und eT. Bild 1.5 a) Ortsvektor Firn Kartesischen Koordinatensystem (ex, ey, ez raumfest) b) Ortsvektor Firn Zylinderkoordinatensystem r, f, z (nur e% ist raumfest; e, und ev können ihre Richtung ändern) 1.2.4.2 Produktbildung mit Vektoren Es gibt für Vektoren verschiedene produktartige Verknüpfungen'), die nicht alle, aber doch die wichtigsten Merkmale von Produkten in der gewöhnlichen Zahlenrechnung besitzen. Das Skalarprodukt (inneres Produkt) zweier Vektoren /fund 3 liefert eine Zahl (einen Skalar) gemäß Ä- S=ABcosy. (1.5) Dabei ist y der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (Bild 1.6a). Der Punkt zwischen den Vektoren wird meist weggelassen. Das Skalarprodukt ist positiv, wenn der Winkel zwischen den Vektoren spitz ist und negativ, wenn der Winkel stumpf ist. Stehen die beiden' Vektoren aufeinander senkrecht, so verschwindet das Skalarprodukt, d.h. ÄB = 0 wenn ıB. (1.6) Dies ist ein wesentlicher Unterschied zum gewöhnlichen Zahlenprodukt, das nur dann verschwindet, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Für das Skalarprodukt gilt das kommutative Gesetz Ä-B = BÄ (1.7) außerdem das distributive Gesetz zur Addition, d.h. Ä(B+C+D+...) = Ä B+Ä- C+Ä-D+... (1.8) Hingegen ist zu beachten, daß (AB) ■ C # Ä ■ (BC) ist [vgl. hierzu (1.17)]. Die Anwendung des Skalarprodukts auf die Kartesischen Basisvektoren liefert Damit ergibt sich die Komponentendarstellung des Skalarprodukts Ä ■ B=AxBx + AyBy + ATBT. (1.10) ') Es gibt keine Division von Vektoren!

1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik Als Quadrat eines Vektors bezeichnet man das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst Ä2 = Ä-Ä = A2. Der Betrag eines Vektors läßt sich damit schreiben \Ä\ = : /Ä2 = A. Ein Einheitsvektor in Richtung eines Vektors Ä ergibt sich gemäß _ Ä Ä ^A = A\ Das Vektorprodukt (äußeres Produkt) zweier Vektoren Ä und B liefert einen Vektor C = ÄxB der auf der von Ä und B aufgespannten Ebene senkrecht steht. Seine Richtung ergibt sich daraus, daß Ä, B, € ein Rechtssystem bilden (vgl. Bild 1.6b). c, Bild 1.6 a) Skalarprodukt Ä ■ S b) Vektorprodukt Ä x S Der Betrag des Vektorproduktes ist C = \ÄxB\ =ABsiny er stellt den Flächeninhalt des von den Vektoren Ä und B aufgespannten Parallelogramms dar. Das Kommutativgesetz gilt nicht mehr, vielmehr ist (1.11) ÄxB ■BxÄ. (1.12) Hingegen gilt das Gesetz der Distributivität zur Addition ÄX0+C + D + ...) = Ä'xB+Äx€ + ÄxD+... Für parallele Vektoren verschwindet das Vektorprodukt, d.h. ÄxB = 0 wenn Ä\\B und speziell Äx Ä = 0. Anwendung auf die Kartesischen Basisvektoren liefert exxex = eyxey = eTxeT = 0 ex x ey = ez, eyxez = ex, ez x ex = ey (1.13) Man erhält damit folgende Komponentendarstellung des Vektorprodukts Äx B = (exAx + eyAy + ezAz) x (ex Bx + ey By + ez Bz) = ex(AyBz-AzBy) + ey{AzBx-AxBz) + ez(AxBy-AyBx). Dies läßt sich bequem in Form einer Determinante schreiben AxB = Ax Ay Az B, 5V B, (1.14) Es sind auch mehrfache Produktbildungen mit Vektoren möglich. Das skalare Tripelprodukt (Spatprodukt) dreier nicht koplanarer (d.h. nicht in einer Ebene liegender) Vektoren Ä, B und C (ÄxB)C=(BxC)Ä = (CxÄ)B = ÄSC=V (1.15) liefert eine skalare Größe, nämlich das Volumen Fdes von den drei Vektoren gebildeten Parallele- pipeds (sog. Spat). Gemäß (1.15) wird das Spatprodukt abgekürzt durch einfaches Nebeneinanderschreiben der Vektoren dargestellt. Die Determinantendarstellung des Spatprodukts lautet Ä8C = Ax Ay Az Bx By Bz C C C *^x *^y *^z (1.16) Man erkennt, daß ÄBC= -BÄC= -CBÄ usw. Für vektorielle Tripelprodukte gelten die folgenden Entwicklungssätze (ÄxB)xC = B(C ■ Ä) - Ä(B ■ C) Äx(BxC) = B(C- Ä) - C(Ä- B). (1.17)

1.3 Bewegung von materiellen Punkten 7 Damit und mit (1.15) läßt sich z.B. ausrechnen (ÄxB)(CxD) = [Bx(CxD)]Ä = (CÄ){ßB) - (BÄ)(SC). Wichtige Anwendungen von Skalar- und Vektorprodukten finden sich in den Begriffen der Arbeit und des Moments. Hierauf wird in Abschn. 1.6 eingegangen. 1.3 Bewegung von materiellen Punkten Im folgenden werden einige wichtige Begriffe der Kinematik, nämlich Geschwindigkeit und Beschleunigung besprochen. 1.3.1 Geradlinige Bewegung Die einfachste Art der Bewegung eines materiellen Punkts (d.h. eines mit Materie behafteten Körpers geringer Ausdehnung) ist die gleichförmige Bewegung in geradliniger Richtung. Als Koordinate wird der längs der Bahn zurückgelegte Weg s eingeführt. Bei der gleichförmigen Bewegung werden in gleichen Zeitintervallen A/ gleiche Wegstreckenintervalle As zurückgelegt.l) Man definiert als Geschwindigkeit As u = ~ = konst. (1.18) A/ v ' Als Maßeinheit (oder Dimension) der Geschwindigkeit ergibt sich die abgeleitete Einheit Weg/Zeit, z.B. Meter/Sekunde oder Kilometer/Stunde mit der Umrechnung m km 1 — = 3,6 -r— • s h Von ungleichförmiger Bewegung spricht man, wenn die Geschwindigkeit sich bei der Bewegung ändert. Wenn das betrachtete Zeitintervall A/ immer kleiner gewählt wird, ergibt sich damit auch ein kleineres Wegintervall As. Man definiert als momentane Geschwindigkeit Die zurückgelegte Wegstrecke s = s(t) ist eine Funktion der Zeit, ebenso ergibt sich jetzt die Geschwindigkeit v = v(t) als eine Funktion der ') A bedeutet Differenz. Zeit. Sie ist gemäß dem Grenzübergang in (1.19) die Ableitung des Wegs nach der Zeit, die- abgekürzt durch den über s gesetzten Punkt geschrieben wird. Bei nicht-konstanter Geschwindigkeit v(t) kann im einfachsten Fall die Zu- oder Abnahme Au in gleichen Zeitintervallen A/ gleich groß sein. Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte (oder verzögerte) Bewegung. Die Änderung der Geschwindigkeit wird durch die Beschleunigung a = ^=konst. (1.20) At v ' ausgedrückt (a < 0 entspricht einer Verzögerung). Die Maßeinheit der Beschleunigung ist m/s2. Für die ungleichförmig beschleunigte (oder verzögerte) Bewegung definiert man als momentane Beschleunigung ,. Av dv . d2s .. .. ._ a= hm -r- = -r- = v = -7-^ = s. (1.21) Ar-o A/ d/ d/2 v ' Hierbei tritt die zweite Ableitung des Wegs nach der Zeit auf. 1.3.2 Allgemeine krummlinige Bewegung Im Sonderfall der geradlinigen Bewegung (die z.B. durch eine geführte Bahn erreicht werden kann) spielen nur die Größe von Geschwindigkeit und Beschleunigung eine Rolle, die Richtung der Bewegung (Richtungsumkehr eingeschlossen) ist durch die gerade Bahn bestimmt. Bei der krummlinigen Bewegung (z.B. in einer Ebene) sind auch die Richtungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung wichtig: Geschwindigkeit und Beschleunigung haben also Vektorcharakter. Als Geschwindigkeitsvektor ergibt sich jetzt (unter Verwendung des Ortsvektors r, vgl. Bild 1.7) gemäß der Definition (1.19) jf Bahn Bild 1.7 Bewegung auf krummliniger Bahn

8 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik v= lim ^ = ^ = r. (1.22) At^o At dt v ' Der Beschleunigungsvektor ist entsprechend _ .. Av dv A d2r ~ a= hm — = — = v = -j-j = r. (1-23) A«-o At dt dt2 v ' Während die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ifimmer in die Richtung der Bahntangente fällt, besitzt der Beschleunigungsvektor a im allgemeinen sowohl eine Tangential- als auch eine Normalkomponente zur Bahn (Bild 1.8 bei ebener Bahnkurve). Bild 1.8 Allgemeine Richtungen von Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektor (bei ebener Bahnkurve) Man kann feststellen, daß eine Richtungsänderung der Bewegung mit einer Beschleunigung verknüpft ist. Weitere Einzelheiten der Kinematik werden später in Abschnitt 4.1 behandelt. 1.4 Die Newtonschen Axiome der Mechanik Als Grundlage der sog. Klassischen Mechanik werden die Newtonschen Axiome angesehen. Sie finden sich sehr wortreich in Newtons Buch „Philosophiae Naturalis Principia Mathema- tika" von 1687 und geben die wichtigsten (bis dahin bekannten) Erfahrungstatsachen wieder. Einzelne der Aussagen waren schon vorher (Galilei, Kepler u.a.) bekannt. Man kann sagen, daß die Newtonschen Axiome zu den durch die Erfahrung am besten bestätigten Naturgesetzen gehören. Es sei angemerkt, daß Axiome Grundtatsachen beinhalten, die nicht auf einfachere zurückgeführt werden können. Axiome sind nicht beweisbar (bedürfen auch keines Beweises), werden aber durch die Erfahrung bestätigt1). ') Ein berühmtes Axiom ist das Euklidsche Parallelenaxiom, auf dem die sog. Euklidsche Geometrie (des ungekrümmten Raums) fußt. 1.4.1 Newtonsche Axiome in Originalfassung Zunächst werden die vier wichtigen Gesetze (Lex I bis III und Corol. I) in der Übersetzung von E. Mach zitiert, wie sie in Newtons Buch auftreten. Die heutige Formulierung haben die Gesetze erst viel später erhalten. Diese Interpretation wird im folgenden Abschnitt gegeben. Lex Prima: Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern. Dies sog. Trägheitsgesetz ist bereits von Galilei als Verharrungsgesetz formuliert worden. Wesentlicher Inhalt des Gesetzes ist, daß Bewegungsänderungen durch Kräfte hervorgerufen werden. Lex Secunda: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach der jene Kraft wirkt. Dies ist das eigentliche Bewegungsgesetz, das mitunter auch als kinetisches Grundgesetz bezeichnet wird. Lex Tertia: Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Dies sog. Wechselwirkungsgesetz (auch schon von Galilei und Huyghens formuliert) besagt, daß Kräfte in der Natur stets paarweise (gleich groß, entgegengesetzt gerichtet) auftreten. CorollariumI: Ein Körper beschreibt in derselben Zeit, durch Verbindung zweier Kräfte die Diagonale eines Parallelogramms, in welcher er, vermöge der einwirkenden Kräfte die Seiten beschrieben haben würde. Dies sog. Gesetz vom Kräfteparallelogramm wurde von Newton lediglich als Zusatz zu den drei Gesetzen angegeben. Es war bereits Stevin (1586) und Varignon (1685) sowie auch Leonardo da Vinci (für aufeinander senkrecht stehende Kräfte) bekannt.

1.5 Maßeinheiten oder Dimensionen 9 1.4.2 Neuzeitliche Formulierung der Newtonschen Grundgesetze In die genannten Newtonschen Axiome müssen spätere Erkenntnisse hineininterpretiert werden, damit man zu den heute gebräuchlichen Aussagen (die nicht in Newtons Ausführungen zu finden sind) gelangt. Insbesondere ist festzuhalten, daß Newton zwar den Kraft- und den Massenbegriff definiert hat, der wichtige Beschleunigungsbegriff aber nicht vorkommt und auch der Vektorcharakter nur in sehr verschleierter Form auftaucht. Dies schmälert die Verdienste von Newton keineswegs, war er doch der erste, der die Erkenntnisse der Generationen vor ihm zusammenfassend dargestellt hat. Er hat die Grundgesetze auch angewendet, um allgemeine Bewegungsvorgänge (z. B. Fall- und Wurfbewegung, Stoßvorgänge, Planetenbewegung unter Einbeziehung des Gravitationsgesetzes) zu behandeln. Schließlich gehen auch wichtige Grundlagen der Strömungsmechanik auf Newton zurück. Man definiert als Impuls (oder Bewegungsgröße) eines bewegten Körpers den Vektor J=mv (1.24) wobei unter m die Materiemenge oder Masse des Körpers verstanden wird. Das Trägheitsgesetz (Lex I) läßt sich dann formulieren als J = konst. bei Abwesenheit von Kräften. Aus diesem Satz von der Erhaltung des Impulses ist zu folgern, daß Bewegungsänderungen (z. B. aus dem Zustand der Ruhe aus) das Auftreten von Kräften erfordern. Dieser Zusammenhang wird im folgenden Bewegungsgesetz (Lex II) beschrieben P=(mv)-=j (1.25) das in dieser Form auch als Impulssatz bezeichnet wird. Dabei ist m die sog. träge Masse des bewegten Körpers (nur abhängig von dessen stofflicher Beschaffenheit). Für konstante Masse ergibt sich aus (1.25) die kinetische Grundgleichung in der geläufigen Form „Kraft ist Masse mal Beschleunigung", d.h. F=mä. (1.26) Hierbei bedeutet /die Resultierende aller auf den bewegten Körper einwirkenden Kräfte und das Gesetz beschreibt die translatorische (gerad- oder krummlinige) Bewegung materieller Körper in ruhenden Bezugssystemen.l) Der idealisierte Begriff des Massenpunkts ist hierbei nicht von- nöten. Zur Erfassung der Drehbewegung materieller Körper dient ein weiteres, von (1.26) völlig unabhängiges Bewegungsgesetz, der von Euler aufgestellte sog. Drehimpuls- oder Drallsatz. Bei der Bewegung von Massenpunkten (Punktmechanik) bleibt die Betrachtung der Drehung unberücksichtigt. Das dritte Newtonsche Axiom (Lex III oder Wechselwirkungsgesetz) beinhaltet das Reaktionsprinzip - schlagwortartig „actio est reactio" - es gilt gleichermaßen für Kontaktkräfte zwischen sich berührenden Körpern als auch für Fernwirkungskräfte zwischen räumlich entfernten Körpern. Insbesondere in der Statik spielt dies Axiom eine große Rolle. Das Axiom vom Kräfteparallelogramm (Corol. I) besagt, daß sich Kräfte wie Vektoren addieren. Es beinhaltet das Superpositionsprinzip der Kraftwirkungen, d. h. jede Kraft an einem Körper bringt die ihr entsprechende Bewegungsänderung hervor, unabhängig davon, ob andere Kräfte gleichzeitig wirken. Auf den genannten Axiomen fußt die „Klassische Mechanik", es wird sich zeigen, daß damit und mit einigen weiteren Sätzen auch die gesamte Technische Mechanik erfaßt wird. 1.5 Maßeinheiten oder Dimensionen Wichtig ist eine Verständigung über die genaue Messung mechanischer Größen, insbesondere muß eine Maßeinheit der Kraft festgelegt werden. 1.5.1 Kraftmessung Die kinetische Grundgleichung liefert eine Möglichkeit zur Kraftmessung und damit einer Festlegung der Krafteinheit, indem Kräfte mit der Gewichtskraft (Schwerkraft) verglichen werden. Hierzu wird zunächst die Fallbewegung betrach- ') Zur Historie ist anzumerken, daß die kinetische Grundgleichung in Kartesischen Koordinaten erstmals von L. Euler (1752) formuliert wurde.

10 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik tet: Die Erfahrung zeigt, daß alle materiellen Körper bei Vernachlässigung des Luftwiderstands gleich schnell mit zunehmender Geschwindigkeit fallen. Diese Fallbewegung ist zum Erdmittelpunkt hin gerichtet, es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Dies bedeutet, daß auf fallende Körper eine konstante Kraft wirkt, diese nennt man das Gewicht oder die Schwerkraft. Aus der kinetischen Grundgleichung (1.26) ergibt sich als Sonderfall das Gesetz der Schwere G = mg. (1.27) Hierbei bedeuten G die Gewichtskraft (das Gewicht) m die sog. schwere Masse g die Fall- oder Schwerebeschleunigung (die gemessen werden kann). Die Schwerebeschleunigung ist zum Erdmittelpunkt gerichtet, sie ist veränderlich auf der Erdoberfläche, ein genügend genauer Mittelwert in der Technischen Mechanik ist ',81 Die Schwerebeschleunigung wird hervorgerufen durch die sog. Gravitationswirkung, eine physikalische Erscheingung, deren Ursache bislang unbekannt ist. Eine wichtige Erkenntnis der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Äquivalenz der schweren Masse mit der früher eingeführten trägen Masse. Dies besagt, daß man durch Messungen nicht feststellen kann, ob ein materieller Körper beschleunigt wird oder sich in einem Schwerefeld befindet. Schwerebeschleunigungen treten auch auf anderen Himmelskörpern auf, z.B. ergibt sich auf dem Erdmond ein Wert von 1,6^, der es den auf dem Mond gelandeten Menschen erlaubte, mühelos große Sprünge zu machen. 1.5.2 Maßsysteme Neben den bereits bekannten Grundeinheiten für die Länge und die Zeit (mit den abgeleiteten Einheiten für Geschwindigkeit und Beschleunigung) muß eine weitere Grundeinheit festgelegt werden. Im sog. Internationalen Einheitensystem SI (früher auch physikalisches Maßsystem genannt) definiert man als Grundeinheit der Masse, weil sie eine jedem Körper eigene skalare Größe ist 1 Kilogramm (kg) und versteht darunter die Masse von 1000 cm3 Wasser bei bestimmten Bedingungen. Gemäß der kinetischen Grundgleichung ergibt sich damit für die Kraft die abgeleitete Einheit kgm 1 Newton (N) als diejenige Kraft, die erforderlich ist, um einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1 — zu erteilen. s Das Internationale Einheitensystem (1978 gesetzlich eingeführt) verwendet die in der Mechanik benötigten Grundeinheiten Meter, Sekunde, Kilogramm: m, s, kg bzw. Bruchteile oder Vielfache davon. Im früher gebräuchlichen sog. Technischen Maßsystem wird als Grundeinheit der Kraft 1 Kilopond (kp) definiert als Gewicht von 1000 cm3 Wasser bei bestimmten Bedingungen. Gemäß der kinetischen Grundgleichung ergibt sich damit für die Masse die abgeleitete Einheit kn s 1 —-— (Technische Masseneinheit). Zur Umrechnung der Krafteinheiten dienen die Beziehungen IN =^rkp*0,lkp lkp = 9,81N« ION. Im Technischen Maßsystem ist als Krafteinheit sehr gebräuchlich 1 Tonne = 103kp = 1 Megapond. Weitere abgeleitete Maßeinheiten ergeben sich für die Begriffe Arbeit, Leistung, Energie und Moment, die nachfolgend besprochen werden. 1.6 Arbeit und Moment von Kräften Es handelt sich um wichtige Begriffe, deren Anwendung in der Statik als auch in der Kinetik von Bedeutung ist.

1.6 Arbeit und Moment von Kräften 11 1.6.1 Arbeit einer Kraft Führt ein materieller Körper unter Einwirkung einer Kraft eine Translationsbewegung in Richtung der Kraft aus, definiert man als Arbeit der Kraft das Produkt Kraft in Verschiebungsrichtung mal Verschiebung mit der Maßeinheit 1 Nm = 1 Joule (J). Im allgemeinen fällt gemäß Bild 1.9 die Kraft nicht mit der Verschiebungsrichtung (Bahntangente) zusammen und ist auch während der Verschiebung ihres Angriffspunkts nicht konstant. Bild 1.9 Arbeit einer Kraft bei Verschiebung des Angriffspunkts Das Arbeitsdifferential bei einer differentiellen Verschiebung Ar ergibt sich als Skalarprodukt dA = F- df=Fdrcos<p. (1.28) Man erkennt, daß die Arbeit eine skalare Größe ist und nur die in die Verschiebungsrichtung fallende Kraftkomponente Arbeit leistet. Bei einer endlichen Verschiebung, z. B. längs der Bahn von (1) nach (2) ergibt sich als Gesamtarbeit Für die Umrechnungen zum Technischen Maßsystem gelten für die Arbeit 1J = 0,102 kpm, lkpm = 9,81J entsprechend für die Leistung 1W = 0,102^, 1 ^=9,81 W. s s Eine im Technischen Maßsystem gebräuchliche Einheit für die Leistung ist die Pferdestärke PS gemäß 75^pm. = 736W=lPS, lkW=136PS> s Angemerkt sei noch der Zusammenhang mit der Wärmeeinheit Kcal (Wärmemenge um 1000 cm3 Wasser von 16°C auf 17°C zu erwärmen) 1 kWh = 860,4 Kcal, 1 Kcal = 4,18 kJ. Die Maßeinheit J = Ws tritt auch bei der Energie auf. Dies ist eine in der gesamten Mechanik wichtige Größe, die in späteren Abschnitten besprochen wird. 1.6.2 Moment einer Kraft An einem ebenen starren Körper (Scheibe), der gemäß Bild 1.10 im Punkt A drehbar gelagert ist, greift eine Kraft F'm der Zeichenebene an. Geht die Wirkungslinie dieser Kraft nicht durch A, bewirkt sie eine Drehbewegung des starren Körpers. Al2 = J P-dr (1.29) I Bild 1.10 Um eine Achse durch A drehbar gelagerter starrer Körper also das sog. Linienintegral der Kraft. Die Komponentendarstellung in Kartesischen Koordinaten lautet $(Fxdx + Fydy + Fzdz). (1.30) Als Leistung definiert man die Arbeit pro Zeiteinheit oder die Geschwindigkeit, mit der eine Arbeit geleistet wird. Es ist ** = ¥ d/ mit der Maßeinheit - = Watt (W). s (1.31) Ein Maß für die Drehwirkung der Kraft ist das Drehmoment (oder kurz Moment) in Bezug auf den Punkt A M=Fl (1.32) Hierbei bedeutet / den Hebelarm des Moments, d.h. den Abstand des Bezugspunkts A von der Wirkungslinie der Kraft. Als Maßeinheit für das Moment ergibt sich Nm analog wie bei der Arbeit einer Kraft, jedoch wird jetzt hierfür nicht die Bezeichnung J verwendet. Zur vektoriellen Darstellung des Moments wird das Vektorprodukt herangezogen.

12 1 Einleitung: Grundbegriffe der Mechanik Es gilt für das Moment bezüglich des Koordinaten-Nullpunkts (Bild 1.11) M, Bild 1.11 Vektordarstellung des Moments einer Kraft M(0) = rx F wobei r den Ortsvektor des Kraftangriffspunkts bedeutet, der auf der Wirkungslinie der Kraft liegt. Der Betrag des Moments M(0) = rFsm<p ergibt sich als Flächeninhalt des von den Vektoren f und F gebildeten Parallelogramms, der Momentenvektor M(0) steht auf diesem senkrecht. Das Moment ist somit gekennzeichnet durch seine Wirkungsebene und seinen Drehsinn. Die Vektoren M, r, F bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, damit ist die positive Richtung des Moments festgelegt. Mit Bezugnahme auf Kartesische Koordinaten gilt für den Momentenvektor die Determinantendarstellung (0)- ■■elM. + ev Mv + e, M, (1.34) mit rY 1 x Jy Li. I ry = y,rz = z. Das Moment einer Kraft ist vom Bezugspunkt abhängig. Die Umrechnungsformel ergibt sich anhand von Bild 1.12 mit r*= r0 + r*. Aus (1.33) folgt Mo = (r0 + r*)xP = F0xF+M,c J(0*) (1.35) wobei A/,0«) = r*xP das Moment in Bezug auf (1.33) den verschobenen Punkt 0* bedeutet und r'bzw. r* die entsprechenden Ortsvektoren zu einem Punkt der Wirkungslinie von F sind. Bild 1.12 Berechnung des Moments für verschobenen Bezugspunkt Der Begriff des Moments einer Kraft bezüglich einer beliebigen Achse im Raum wird später in Abschnitt 2.6.1.2 besprochen.

13 2 Statik starrer Körper Die Statik beinhaltet die Lehre von der „Geometrie der Kräfte" und die Lehre vom Gleichgewicht, sie ist ein wichtiges Grundlagengebiet für alle Zweige der Mechanik. Als Hauptaufgaben ergeben sich die Zusammensetzung bzw. Zerlegung von Kräften und die Aufstellung der Bedingungen für das Gleichgewicht von Kräften. Man unterscheidet die ebene von der räumlichen Statik, je nachdem ob Kräftesysteme in der Ebene oder im Raum betrachtet werden. In Anwendung der gefundenen Gesetze der Statik auf technische Probleme wird dann die statische Beanspruchung von Bauteilen (z.B. Stäbe, Balken, Scheiben) untersucht und es werden die bei der Belastung auftretenden Reaktionskräfte (z.B. Auflagerreaktionen von Tragwerken) ermittelt. Als wichtige Abstraktion wird der Begriff des starren Körpers eingeführt. Es handelt sich um einen Idealkörper, der keine Verformungen unter dem Einfluß von Kräften erleidet. Die Abstände zwischen beliebigen Punkten eines starren Körpers bleiben unverändert, ein starrer Körper bleibt immer sich selbst kongruent. Die Nützlichkeit rechtfertigt die Einführung des starren Körpers, es ergeben sich damit viele Vereinfachungen in den statischen und kinetischen Betrachtungen. In zahlreichen Anwendungen der Mechanik auf wirkliche Probleme stellt der starre Körper eine brauchbare Näherung dar, auch insofern, als viele als fest bezeichneten Körper in der Natur in ihrem Verhalten dem starren Körper nahekommen. Manche der aufgestellten Ergebnisse können auch für nichtstarre Körper angewendet werden. Zunächst wird die ebene Statik betrachtet und dementsprechend die Wirkung von ebenen Kräftesystemen auf ebene starre Körper untersucht. Alle technischen Bauteile sind zwar in der Hauptsache räumlich ausgedehnte Gebilde, in vielen Fällen spielt die Tiefenausdehnung jedoch nur eine geringe Rolle und kann außeracht gelassen werden. Man kann somit einen ebenen starren Körper als eine starre materielle Scheibe ansehen, die darauf wirkenden Kräfte liegen dann parallel zur Scheibenmittelebene. Der Vorteil dieser Behandlung als ebenes Problem liegt in der Anschaulichkeit der Darstellung sowie in der bequemen Anwendbarkeit grafischer Verfahren (sog. grafische Statik). Auf die Grundlagen der Raumstatik wird nur kurz eingegangen, die auch hierfür anwendbaren, allerdings etwas komplizierten grafischen Verfahren mit Grund- und Aufrißebenen werden aber nicht behandelt. Es ist üblich, im Rahmen des Kapitels über Statik auch die Reibungserscheinungen zu betrachten, außerdem die wichtigen Begriffe Schwerpunkt und Flächenmomente erster und zweiter Ordnung einzuführen, die z. B. in der Statik verformbarer Festkörper von Wichtigkeit sind. 2.1 Axiome der Statik Die wesentliche Grundlage der Statik bilden vier Erfahrungstatsachen, die teilweise mit den bereits erwähnten Newtonschen Axiomen übereinstimmen. 2.1.1 Gleichgewichtsaxiom -p Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie - auf derselben Wirkungslinie liegen - entgegengesetzt gerichtet sowie - gleich groß sind. Als Vektorgleichung ergibt sich hierfür ^+^=0 oder F2=-Pl (2.1) Man bezeichnet die zwei Kräfte in diesem Fall als Gleichgewichtsgruppe, Bild 2.1. Es gilt somit, daß ein ursprünglich ruhender starrer Körper unter dem Einfluß einer Gleichgewichtsgruppe weiterhin in Ruhe bleibt oder daß sich durch Aufbringung einer Gleichgewichtsgruppe bei einem starren Körper an seinem Zustand nichts ändert. ^^^ F' Bild 2.1 Gleichgewicht zweier Kräfte Diese Aussage ist im Einklang mit dem Newtonschen Trägheitsgesetz. *

14 2 Statik starrer Körper 2.1.2 Axiom der Linienflüchtigkeit -? des Kraftvektors <) kraft auftritt. Zur Erläuterung bei Berührungskräften dient Bild 2.4. Die Wirkung einer Einzelkraft auf einen starren Körper ist von der Lage des Angriffspunkts auf der Wirkungslinie der Kraft unabhängig (bereits 1685 von Varignon als Axiom festgestellt), vgl. Bild 2.2. Bild 2.2 Linienflüchtigkeit des Kraftvektors (in der Wirkung auf einen starren Körper) Der Angriffspunkt einer Kraft an einem starren Körper kann auf der Wirkungslinie beliebig verschoben werden, ohne daß sich an der Wirkung etwas ändert, d.h. der Kraftvektor ist in diesem Fall ein linienflüchtiger Vektor'). Das Linienflüchtigkeitsaxiom kann mittels des Gleichgewichtsaxioms erklärt werden (Bild 2.3). Zu der auf den starren Körper in Punkt A wirkenden Kraft wird eine Gleichgewichtsgruppe mit Angriffspunkt in A und B (gestrichelte Kräfte) hinzugefügt. Die in A angreifenden Kräfte können nun als Gleichgewichtsgruppe aufgefaßt werden und diese kann weggelassen werden, da sie am statischen Zustand des starren Körpers nichts ändert2). Bild 2.4 Zur Gleichheit der Kräfte an der Berührungsstelle zweier starrer Körper 2.1.4 Axiom vom Kräfteparallelogramm T Dies entspricht dem Newtonschen Zusatz zu seinen drei Axiomen und beinhaltet die vektoriel- le Addition von Kräften (festgestellt auf Grund von Erfahrungstatsachen). 2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene Die Wirkungslinien der betrachteten Kräfte und die ebenen starren Körper (Scheiben), an denen die Kräfte angreifen, liegen hier und im folgenden stets in einer Ebene (Zeichenebene, z. B. mit Kartesischen Koordinaten x und y). Meist wird auf die Scheiben nicht mehr Bezug genommen und kurzerhand nur von den Kräften gesprochen.l) f „-- -i-T * Bild 2.3 Hinzufügung einer Gleichgewichtsgruppe (gestrichelt) 2.1.3 Wechselwirkungsgesetz ^ ' Dies entspricht dem dritten Newtonschen Axiom und besagt, daß zu jeder Kraft stets eine Gegen- ') Für Kraftwirkungen auf verformbare Körper ist hingegen die Lage des Kraftangriffspunkts wesentlich, hier verliert das Linienflüchtigkeitsaxiom seine Gültigkeit. 2) Verschiebt man eine an einem starren Körper angreifende Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie, so wird die Wirkung auf den starren Körper geändert! Es tritt dann zusätzlich ein Moment auf (vgl. Abschnitt 2.2.6.4). 2.2.1 Gleichgewicht dreier Kräfte Es folgt mit Anwendung des Gleichgewichtsaxioms und des Axioms vom Kräfteparallelogramm (Bild 2.5): Zwei Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt sind mit ihrer negativen Resultierenden im Gleichgewicht. Bild 2.5 Zum Gleichgewicht dreier Kräfte ') Es ist selbstverständlich, daß Kräfte allein, ohne Wirkung auf einen Körper, keinen Sinn ergeben.

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 15 Es gilt somit (sog. Dreikräftesatz): Drei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn - sie in einer Ebene liegen - ihre Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden - das zugehörige Kräftedreieck geschlossen ist. Wirken die drei Kräfte gemäß Bild 2.6 auf einen starren Körper, so bleibt dieser in Ruhe, d. h. er befindet sich im Gleichgewicht. Man bezeichnet ein ebenes System von Kräften, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden, als zentrales Kräftesystem. Bild 2.6 Zentrale Kräftegruppe mit drei Kräften a) Lageplan, b) Kräftedreieck 2.2.2 Zusammensetzung eines zentralen Kräftesystems Beliebig viele Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt (d. h. alle Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt) lassen sich zu einer resultierenden Kraft (kurz Resultierende) zusammensetzen. Hierzu bildet man die Vektorsumme der Kräfte Pt + P2 + ?3+...+?„= iFi = R. (2.2) In Bild 2.7 ist dies am Beispiel von vier Kräften veranschaulicht. Bild 2.7 Zeichnerische Zusammensetzung zentraler Kräfte a) Lageplan, b) Kräfteplan (mit Kräftemaßstab) Die grafische Durchführung der Zusammensetzung erfolgt zweckmäßig in einem, vom Lageplan getrennten, Kräfteplan. Bei der Lösung praktischer Probleme ist die Festlegung eines Kräftemaßstabs (K.M.) im Kräfteplan erforderlich, z. B. 1 cm = 1 N. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes kann die Aneinanderreihung der Kraftvektoren im Kräfteplan in beliebiger Reihenfolge vorgenommen werden. In Bild 2.7b sind gestrichelt die Teilresultierenden eingezeichnet. Die sich ergebende Resultierende geht durch den gemeinsamen Schnittpunkt der Wirkungslinien der Kräfte. Man bezeichnet sie als zu den gegebenen Kräften statisch äquivalent. Die Zusammensetzung der Kräfte läßt sich auch analytisch durchführen. Dies sei am Beispiel dreier Kräfte gemäß Bild 2.8 veranschaulicht. Die Größen der Kräfte sowie ihre Lage, z.B. durch Festlegung der Winkel sq gegen die x- Achse sind gegeben. Bild 2.8 Analytische Zusammensetzung zentraler Kräfte Der Übersichtlichkeit halber sind nur die Komponenten von ^ eingetragen. Mit Bezug auf ein Kartesisches Koordinatensystem x, y gilt für die Kraftkomponenten (vgl. Bild 1.4) allgemein -M "x * ix ' "y * iy = ex Fi cos et; + ey F{ sina; (2.3) und es folgt für die Komponenten der Resultierenden R*= Y, Ftx= Y, fiCOSlX; i=l i=l n n Ry= £ Fiy= £ FiSina;. (2.4) Der Betrag der Resultierenden und ihre Lage ergibt sich aus IL \R\ = R=yR[+R?, tana=-^. (2.5)

16 2 Statik starrer Körper Im betrachteten Beispiel erhält man Rx = Fu + F2x + F3x R. Fly + F2y + (-F3y) d.h. die Komponenten gehen negativ in die Summe ein, wenn ein stumpfer Winkel zwischen Kraftvektor und Koordinatenrichtung vorliegt. Die Beziehungen (2.4) beinhalten den sog. Projektionssatz der Kräfte: Die Projektionen der Resultierenden eines ebenen zentralen Kräftesystems auf eine (beliebige) Achse sind gleich der Summe der entsprechenden Projektionen der einzelnen Kräfte. Aus (2.4) folgen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß sich das ebene zentrale Kräftesystem im Gleichgewicht befindet 13 = 0 (2.6) 2.2.3 Zusammensetzung eines allgemeinen (nicht-zentralen) Kräftesystems Anknüpfend an die Bemerkung zum Ende des vorigen Abschnitts wird jetzt ein allgemeines, verstreut an einem starren Körper wirkendes Kräftesystem behandelt. Als Beispiel werden vier an einer starren Scheibe wirkenden Kräfte betrachtet (Bild 2.11). Beim zeichnerischen Verfahren werden unter Anwendung des Linienflüchtigkeitsaxioms und des Axioms vom Kräfteparallelogramm zunächst /t und P2 zu einer Teilresultierenden Rl2 zusammengesetzt. Fortschreitend wird dann analog Rl2 und /3 zur Teilresultierenden R123 zusammengesetzt usw. Man erhält als Ergebnis die Resultierende R im Lageplan (L.P. Bild 2. IIa) nach Größe und Richtung einschließlich der Lage eines Punkts / ihrer Wirkungslinie. bzw. in Komponenten (2.7) Dies bedeutet, daß die Resultierende zu Null wird und das Kräftepolygon im Kräfteplan geschlossen ist (Bild 2.9). Bild 2.9 Zentrales Kräftesystem mit verschwindender Resultierenden Man erkennt übrigens aus den vorangegangenen Betrachtungen, daß für drei nicht-zentrale Kräfte in der Ebene kein Gleichgewicht möglich ist (Bild 2.10). Es kann sich in diesem Fall bei Beachtung des Linienflüchtigkeitsaxioms kein geschlossenes Krafteck ergeben. Bild 2.10 Drei nicht-zentrale Kräfte, für die kein Gleichgewicht möglich ist Bild 2.11 Zusammensetzung eines allgemeinen Kräftesystems a) Lageplan, b) Kräfteplan Aus dem zugehörigen Kräfteplan (K.P. Bild2.IIb) läßt sich die Resultierende nach Größe und Richtung ebenfalls ermitteln, nicht aber die Lage ihrer Wirkungslinie. Diese kann

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 17 nur aus der angegebenen Konstruktion im Lageplan gefunden werden. Für eine größere Zahl von Kräften indes ist das schrittweise Zusammensetzen umständlich und unübersichtlich und kann zu zeichnerischen Un- genauigkeiten führen. Ein zweckmäßiges grafisches Verfahren stellt die Seileckkonstruktionl) dar. Auch hierbei wird neben dem Lageplan ein zugehöriger Kräfteplan verwendet. Das Verfahren wird am Beispiel dreier Kräfte, die an einem ebenen starren Körper wirken, erläutert (Bild 2.12 a). Zunächst wird im Kräfteplan die Resultierende R ermittelt und zwar genauso, wie wenn die Kräfte alle in einem Punkt angreifen würden. Sodann wird der sog. Pol P festgelegt, seine Lage kann völlig beliebig gewählt werden, sollte aber nicht auf einer der Kraftrichtungen liegen. Vom Pol aus werden die Polstrahlen zu den Anfangs- bzw. Endpunkten der Kräfte gezogen (die Numerierung beginnt zweckmäßig mit Null). Man erkennt, daß die Polstrahlen (im Maßstab des Kräfteplans) Hilfskräften entsprechen, in welche die auftretenden Kräfte zerlegt werden. Im Lageplan werden sodann Parallelen zu den Polstrahlen konstruiert, dies sind die sog. Seilstrahlen. Man beginnt in einem beliebigen Punkt / auf der Wirkungslinie von Pt und zeichnet durch /die zu den Polstrahlen parallelen Seilstrahlen 0* und 1*. Der Seilstrahl 1* scheidet sich mit der Wirkungslinie von F2 in einem Punkt // durch den dann der Seilstrahl 2* gezeichnet wird. Dieser schneidet sich mit der Wirkungslinie von /3 im Punkt ///. Schließlich liefert der Seilstrahl 3* durch Punkt IIIzum Schnitt gebracht mit dem Seilstrahl 0* den Punkt IV, der einen Punkt der Wirkungslinie der Resultierenden R darstellt. Der Polygonzug der Seilstrahlen 0*, 1* usw. im Lageplan wird als Seileck (oder Seilpolygon) bezeichnet. Dies rührt daher, daß ein ausgespanntes gewichtsloses Seil unter der Wirkung der gegebenen Kräfte einen solchen Polygonzug als Gleichgewichtsform annimmt (vgl. Abschnitt 2.5 Seilstatik). Wie Bild 2.12b zeigt, kann der Pol auch innerhalb des Kraftecks im Kräfteplan gewählt werden, was zu unterschiedlichen Pol- bzw. Seil- ') Das Verfahren geht auf P. Varignon zurück, die Anwendung auf Kräftezusammensetzung wurde von C. Culmann, dem Begründer der grafischen Statik, eingeführt. strahlen führt, aber am Ergebnis nichts ändert. Zu jedem Seileck gibt es somit unendlich viel äquivalente Seilecke, je nach Lage des Pols. Das Vorgehen bei der Zusammensetzung beliebig vieler Kräfte ist ganz entsprechend. Stets liefert der Schnittpunkt der,,äußersten Seilstrahlen" 0* und n* einen Punkt der Wirkungslinie der Resultierenden, deren Größe und Richtung aus dem Kräfteplan bekannt ist. Zur Begründung der Seileckkonstruktion sei nochmals auf Bild 2.12 verwiesen. Man erkennt, daß zu jedem Schnittpunkt zweier entsprechender Seilstrahlen mit der Wirkungslinie einer Kraft im Lageplan ein Krafteck im Kräfteplan (z. B. /) zugeordnet ist. Für jeden der Schnittpunkte / usw. gilt somit der Dreikräftesatz. Bild 2.12a Seileckverfahren Bild 2.12b Seileckverfahren, veränderte Lage des Pols In Bild 2.13 ist der Kräfteplan (für das Beispiel in Bild 2.12 a) mit den durch Pfeile gekennzeichneten Hilfskräften (Polstrahlen) in seine Einzelteile zerlegt dargestellt. Es ist ersichtlich, wie sich die Resultierende aus den beiden Hilfskräften zusammensetzt, die den äußersten Polstrahlen entsprechen. Im Lageplan müssen somit die äußersten Seilstrahlen und die Wirkungslinie der Resultierenden ebenfalls durch einen Punkt gehen.

18 2 Statik starrer Körper Übrigens läßt sich leicht verifizieren, daß bei zwei verschiedenen Polen eines Kraftecks die Schnittpunkte der einander entsprechenden Seilstrahlen auf einer Geraden (Polachse genannt) liegen, die parallel zur Verbindungsgeraden der beiden Pole ist. Weitere Anwendungen des Seileckverfahrens werden in den späteren Abschnitten 2.2.6.2 und 2.3.2.2 behandelt. Bild 2.13 Zur Begründung der Seileckkonstruktion 2.2.4 Zusammensetzung paralleler Kräfte Um die zeichnerische Zusammensetzung zweier paralleler oder nahezu paralleler Kräfte mit dem Parallelogrammgesetz durchführen zu können, überlagert man gemäß Bild 2.14 eine Gleichgewichtsgruppe von zwei Hilfskräften Hi und H2 = — Hl. An der statischen Wirkung der beiden Kräfte P1 und F2 wird dadurch nichts geändert. Die sich mit den Hilfskräften ergebenden Kräfte F[ und P2 lassen sich dann bequem zur Resultierenden R zusammensetzen. Bild 2.14 Zusammensetzung zweier nahezu paralleler Kräfte Es gilt P[+P2 = F1+H1+P2-ß1 = F1 + P2 = R. (2.8) Zweckmäßig ist die Anwendung des Seileckverfahrens, wie es in Bild 2.15 für zwei parallele gleichsinnig gerichtete Kräfte im Abstand ai + a2 gezeigt ist. Das Kräftepolygon im Kräfteplan (K.P.) artet in einen Geradenzug aus (es genügt, die Kräfte ohne darübergesetzte Pfeile zu kennzeichnen). Bild 2.15 Seileckverfahren zur Zusammensetzung zweier gleichsinnig paralleler Kräfte Der Schnittpunkt /// der beiden äußersten Seilstrahlen 0* und 2* im Lageplan (L.P.) liefert wieder einen Punkt der Wirkungslinie der Resultierenden R = Fi + F2. Die Richtigkeit der Seileckkonstruktion folgt unmittelbar aus dem Vergleich der ähnlichen Dreiecke. Mit Einführung des Polabstands H (auch Horizontalzug genannt) im K.P. ergibt sich -L = bzw. -f = — h Ft h F2 oder Fiai=F2a2 (2.9) (findet sich bereits als Hebelgesetz bei Archime- des). Im Fall ungleichsinnig paralleler (antiparalleler) Kräfte unterschiedlicher Größe gilt entsprechend die Seileckkonstruktion gemäß Bild 2.16. Bild 2.16 Seileckverfahren zur Zusammensetzung zweier ungleichsinnig paralleler Kräfte

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 19 Ein Sonderfall liegt vor, wenn zwei antiparallele Kräfte gleicher Größe zusammengesetzt werden sollen. Die Resultierende ist Null, die Polstrahlen 0 und 2 fallen zusammen (Bild 2.17), die Seilstrahlen 0* und 2* sind parallel und können nicht zum Schnitt gebracht werden (d. h. sie schneiden sich im oo fernen Punkt). Bild 2.17 Seileckverfahren für zwei gleich große antiparallele Kräfte Zwei gleich große antiparallele Kräfte lassen sich somit nicht weiter reduzieren, sie bilden ein Kräftepaar (nach Poinsot) oder eine Drehkraft und üben auf einen starren Körper eine Drehwirkung aus. Beträgt der Abstand der Kräfte des Kräftepaars /, so ist ein Maß für die Drehwirkung das Moment (vgl. Abschnitt 1.6.2) M=Fl. (2.10) Durch Hinzufügung einer Gleichgewichtsgruppe von zwei Hilfskräften (wie auch die Seileckkonstruktion lehrt), entsteht wiederum ein äquivalentes Kräftepaar mit gleichgroßem Moment (Bild2.18), d.h. Fl = F' /' = konst. (2.11) Ein Kräftepaar ist gekennzeichnet durch sein Moment, die Drehrichtung und die Ebene, in der es wirkt. In dieser sog. Wirkungsebene kann ein Kräftepaar beliebig verschoben werden (wegen der Linienflüchtigkeit der Kraftvektoren) ohne daß sich an der statischen Wirkung etwas ändert. Weitere Sätze über Kräftepaare werden in Abschnitt 2.2.6.3 besprochen. ~T~ F Bild 2.18 Äquivalente f Kräftepaare an einem star- / ren Körper Für die Zusammensetzung beliebig vieler paralleler Kräfte mit dem Seileckverfahren ist in Bild 2.19 ein Beispiel dargestellt. Bild 2.19 Zusammensetzung eines beliebigen parallelen Kräftesystems 2.2.5 Zerlegung von Kräften Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, eine gegebene Kraft in statisch äquivalente Kräfte nach vorgeschriebenen Wirkungslinien zu zerlegen. Zunächst werden hierzu zeichnerische Verfahren verwendet. 2.2.5.1 Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallelen Richtungen Die Zerlegung ist eindeutig möglich, wenn die zu zerlegende Kraft F durch den Schnittpunkt der beiden vorgeschriebenen Wirkungslinien 1 und 2 geht (Bild 2.20). Wie man erkennt, ist f die Resultierende aus Pi und F2 und es handelt sich um ein zentrales Kräftesystem. Die Lösung erfolgt durch Anwendung des Linienflüchtigkeitsaxioms und des Axioms vom Kräfteparallelogramm, bzw. beruht auf dem Dreikräftesatz. Bild 2.20 Zerlegung einer Kraft nach 2 nichtparallelen Richtungen

20 2 Statik starrer Körper Im Kräfteplan beinhaltet die zeichnerische Lösung die Konstruktion eines Dreiecks, wenn eine Seite und die Richtungen der beiden anderen Seiten gegeben sind. Geht die Wirkungslinie der Kraft nicht durch den Schnittpunkt der beiden vorgegebenen Wirkungslinien, so ist eine Zerlegung grundsätzlich nicht möglich. 2.2.5.2 Zerlegung einer Kraft nach zwei parallelen Richtungen Die zeichnerische Lösung erfolgt zweckmäßig mit dem Seileckverfahren, es handelt sich um die Umkehrung der in Bild 2.15 und 2.16 dargestellten Aufgaben. Zunächst soll die Zerlegung der Kraft F in zwei gleichsinnig parallele Kräfte mit den vorgegebenen Wirkungslinien 1 und 2 vorgenommen werden (Bild 2.21, die Richtungen der Teilkräfte .F, und F2 sind durch Pfeile angegeben). Bild 2.21 Zerlegung einer Kraft nach zwei gleichsinnig parallelen Kräften Man zeichnet den Kräfteplan mit den beiden Polstrahlen 0 und 1. Durch einen beliebigen Punkt / auf der Wirkungslinie der gegebenen Kraft F gehen die Seilstrahlen 0* bzw. 1*, sie schneiden sich mit den vorgegebenen Richtungen 1 und 2 in den Punkten II bzw. III. Den Seilstrahl 2* = s*, der / und // verbindet, bezeichnet man als Schlußlinie des Seilecks im L.P. (strichpunktiert gezeichnet). Eine Parallele zur Schlußlinie teilt dann im K.P. die Kraft F'm die beiden Teilkräfte F1 und F2 auf. Die Begründung für die Richtigkeit der Seileckkonstruktion ergibt sich mit den gleichen Überlegungen wie in Abschnitt 2.2.4 über die Zusammensetzung paralleler Kräfte. Ganz entsprechend wird die Zerlegung einer Kraft nach zwei antiparallelen Richtungen mit vorgegebenen Wirkungslinien vorgenommen (Bild 2.22). Schließlich sei noch bemerkt, daß die Zerlegung eines beliebigen Systems paralleler Kräfte nach zwei vorgegebenen parallelen Wirkungslinien auf die gleiche Weise mit dem Seileckverfahren durchgeführt werden kann. Dies findet später Anwendung bei der Balkenstatik (vgl. Abschnitt 2.3.2). Bild 2.22 Zerlegung einer Kraft nach zwei antiparallelen Kräften 2.2.5.3 Zerlegung einer Kraft nach drei Richtungen Hierbei sind verschiedene Fälle zu unterscheiden. Sind drei zentrale Wirkungslinien 1,2, 3 vorgegeben, in die eine Kraft /zerlegt werden soll, deren Wirkungslinie ebenfalls durch den Schnittpunkt dieser drei Richtungen geht (Bild 2.23), so läßt sich keine eindeutige Lösung finden. \/-/Nr—U I \ K.P. f; h ' LP / ' Bild 2.23 Zerlegung einer Kraft nach drei zentralen Richtungen (2 mögliche Lösungen) Es steht als Bedingung nur das Krafteck gemäß der Vektorgleichung Pl+F2 + p3 = /zur Verfügung, hierfür gibt es unendlich viele Lösungen. Die Gesetze der Statik starrer Körper liefern keine eindeutige Lösung, man bezeichnet allgemein einen solchen Sachverhalt als statisch unbestimmt oder statisch unbestimmbar. Dies trifft gleichermaßen für die Fälle zu, daß mehr als drei zentrale Wirkungslinien vorgegeben sind, in die

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 21 eine Kraft, die durch den Schnittpunkt dieser Wirkungslinien geht, zerlegt werden soll. Außerdem gilt, daß bei drei und mehr vorgegebenen zentralen Wirkungslinien die Zerlegung einer Kraft, die nicht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien geht, grundsätzlich unmöglich ist. Dies gilt ebenso für drei und mehr vorgegebene parallele Wirkungslinien, nach denen eine die Wirkungslinien schneidende Kraft grundsätzlich nicht zerlegt werden kann. Eine eindeutige Zerlegung einer Kraft nach drei vorgegebenen Wirkungslinien ist hingegen möglich, wenn sich die Wirkungslinien nicht in einem Punkt schneiden. Das grafische Verfahren zur Lösung (auch als Verfahren der Teilresultierenden bezeichnet) stammt von Culmann, vgl. Bild 2.24 a. Bild 2.24a Zerlegung einer Kraft in drei nichtzentrale Richtungen (Culmann) Bild 2.24 b Drei alternative Culmannsche Geraden Zuerst wird die Wirkungslinie der gegebenen Kraft / mit einer der vorgegebenen Richtungen, z. B. der Richtung 1, im Punkt / zum Schnitt gebracht. Die Verbindungslinie von / zum Schnittpunkt //der beiden anderen Richtungen 2 und 3 wird als Culmannsche Gerade C bezeichnet. Nun wird im Punkt / die Kraft F in die Teilkraft F, sowie die Hilfskraft € (mit entsprechendem Richtungssinn) zerlegt. Im Punkt // erfolgt dann die Zerlegung der Hilfskraft C'in die Teilkräfte F2 und /3. Die Richtungen der drei Teilkräfte folgen schließlich aus der Vektorgleichung Die Hilfskraft in Richtung der Culmannschen Geraden spielt die Rolle der Teilresultierenden. Wie aus Bild 2.24b ersichtlich, gibt es drei alternative Culmannsche Geraden, die alle zum gleichen Ergebnis führen. Die Zerlegung einer Kraft nach mehr als drei nichtzentralen Richtungen führt auf ein statisch unbestimmtes Problem. Eine Lösung gelingt erst mit weiteren Informationen, in denen die Verformbarkeit der Körper eine Rolle spielt (die Idealisierung des starren Körpers also nicht mehr anwendbar ist). 2.2.6 Moment eines ebenen Kräftesystems ' Der Begriff des Moments einer Kraft wurde bereits in Abschnitt 1.6.2 kurz erläutert. Das Moment M{0) einer Kraft /in der x-j-Ebene bezüglich des Koordinaten-Nullpunkts 0 besitzt den Hebelarm (Bild 2.25) l = xsina — ycosa. (2.12) Bild 2.25 Zur Komponentendarstellung des Moments einer Kraft Die Komponentendarstellung des Moments ist Mm = Fyx-Zy (2.13) wobei x, y die Koordinaten eines Punkts auf der Wirkungslinie der Kraft („Kraftangriffspunkt") bedeuten. Ein entgegen dem Uhrzeigersinn drehendes Moment M{0) wird als positiv bezeichnet, in Einklang mit dem Rechtssystem der allgemeinen Vektordarstellung (1.33).

22 2 Statik starrer Körper Man erkennt, daß das Moment einer Kraft sich als Summe der Momente der Kraftkomponenten ergibt. Die Vektordarstellung (1.33) lehrt, daß der Momentenvektor im Fall ebener Kräfte nur eine Komponente (in Richtung der z-Achse) besitzt. Die Verallgemeinerung auf den räumlichen Fall erfolgt später (Abschnitt 2.6.1.2). 2.2.6.1 Momentensatz Zunächst wird ein ebenes Kräftesystem zweier Kräfte F{ und F2, mit der Resultierenden R~ betrachtet (Bild 2.26). Bild 2.26 Moment eines ebenen Kräftesystems Für die Resultierende gilt Die Komponentendarstellung des Moments der Kräfte bezüglich des Koordinaten-Nullpunkts ist entsprechend (2.13) Mm = Fiyx-Fily + F2yx-F2ly = (Fly + F2y) x-(FlI + F2x) y = Ryx-Rxy. (2.14) Verallgemeinert für beliebige Anzahl n von Kräften ergibt sich der Momentensatz: Die Summe der Momente der Kräfte eines ebenen Kräftesystems ist gleich dem Moment der Resultierenden dieses Kräftesystems (für denselben Bezugspunkt). Die vektorielle Darstellung lautet M(0)= Z MH0)= Z (^¾ i=l i=l n = e2 £ (FiyXi-F^yi). (2.15) 2.2.6.2 Grafische Ermittlung des Moments eines ebenen Kräftesystems Das resultierende Moment eines ebenen Kräftesystems in Bezug auf einen beliebigen Punkt läßt sich zeichnerisch sehr einfach mit dem Seileckverfahren ermitteln (Bild 2.27). Das Vorgehen entspricht dem zur Ermittlung der Resultierenden eines ebenen Kräftesystems. Um das Moment des Kräftesystems bezüglich des Punkts A zu bestimmen, wird im L.P. eine Parallele zur Resultierenden durch den Punkt A gezeichnet. Diese wird mit den äußersten Seilstrahlen (im Beispiel 0* und 3*) zum Schnitt gebracht und man erhält die Strecke rj. Betrachtet man unter Einführung des Polabstands H im K.P. die Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke, gilt R H 1_ r (2.16) KM Bei den Anwendungen in der Statik spielt der Momentensatz eine wichtige Rolle. Bild 2.27 Grafische Ermittlung des Moments eines ebenen Kräftesystems Das Moment des Kräftesystems ist M(A) = Rl, also folgt M(A) = Hr, (2.17) (//bzw. t] sind im Kräfte- bzw. Lageplanmaßstab zu messen). Das Verfahren ist entsprechend auch für parallele Kräfte anwendbar. 2.2.6.3 Kräftepaar Der Begriff des Kräftepaars, d. h. eine Einheit aus zwei antiparallelen Kräften gleicher Größe, die auf keine Resultierende reduzierbar sind, wurde bereits in Abschnitt 2.2.4 eingeführt. Einige wich-

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 23 tige Tatsachen beim Kräftepaar werden im folgenden betrachtet. Zunächst ergibt sich, daß das Moment eines Kräftepaars vom Bezugspunkt unabhängig ist. Das Moment des Kräftepaars in Bild 2.28 ist gegeben durch M = Fl (positiver Drehsinn!). LF Fl Bild 2.28 Moment eines Kräftepaars In Bezug auf einen beliebigen Punkt A ergibt sich das Moment M{A)=-Fa + F(l+a) = Fl (2.18) (positiver Drehsinn entgegen dem Uhrzeigersinn). Die Tatsache der beliebigen Verschieblichkeit eines Kräftepaars in seiner Wirkungsebene ersieht man aus Bild 2.29. Durch Überlagerung einer Gleichgev'ichtsgruppe (Hilfskräfte H) ergibt sich unter Benützung des Linienflüchtigkeitsaxioms aus dem Kräftepaar mit M = Fl ein äquivalentes Kräftepaar mit M = F'l'. o Bild 2.29 Äquivalente Kräftepaare Die statische Wirkung äquivalenter Kräftepaare auf einen starren Körper ist stets gleich. Bei der Überlagerung von Kräftepaaren an einem starren Körper werden unter Beachtung des Drehsinns die Momente algebraisch addiert. Dies ist in Bild 2.30 demonstriert. Die Kräfte F2 werden auf ihren Wirkungslinien bis zum Schnitt mit den Wirkungslinien der Kräfte Fl verschoben. Durch Überlagerung von Hilfskräften H wird erreicht, daß die Kräfte F2 auf die Wirkungslinien der Kräfte Fl zu liegen kommen und zu diesen addiert werden können. Bild 2.30 Addition zweier Kräftepaare (mit gleichem Drehsinn) Es gilt zunächst ir2'/1 = F212 und für das Gesamtmoment der beiden Kräftepaare folgt M=(Fl+Fi)ll = Flll+F2l2 = Ml + M2. (2.19) Verallgemeinert auf beliebige Anzahl von Kräftepaaren ergibt sich «=IM= KV) i=l i=l (2.20) unter Beachtung des Drehsinns. Für die Wirkung von Kräftepaaren auf einen ebenen starren Körper gilt: Der starre Körper ist im Gleichgewicht gegen Drehung, wenn zwei Kräftepaare mit entgegengesetzt gleichem Moment auf ihn wirken. Dies läßt sich sofort mit dem Gleichgewichtsaxiom zeigen. In der Verallgemeinerung folgt aus (2.20) die Gleichgewichtsbedingung für Kräftepaare I Mi = I (V) = 0 (2.21) unter Beachtung des Drehsinns. Man erkennt, daß ein starrer Körper sich im Gleichgewicht gegen Verdrehung befindet, wenn die auf ihn wirkenden Kräfte kein resultierendes Moment haben. Diese Aussage wird später allgemein formuliert. 2.2.6.4 Parallelverschiebung einer Kraft, Versetzungsmoment Wird eine auf einen ebenen starren Körper wirkende Kraft /parallel zu ihrer Wirkungslinie verschoben, ändert sich ihre statische Wirkung auf den Körper. Dies ist eine wichtige Erfahrungstatsache. Gemäß Bild 2.31 wird im Punkt B auf der parallelen Wirkungslinie eine Gleichgewichts-

24 2 Statik starrer Körper gruppe zweier Kräfte derselben Größe wie die ursprüngliche Kraft angebracht. Dadurch ändert sich nichts am statischen Zustand des starren Körpers. Die ursprüngliche Kraft im Punkt A und die gestrichelt eingezeichnete Kraft im Punkt B stellen zusammen ein Kräftepaar dar, das ein (rechtsdrehendes) Moment vom Betrag M = Fl besitzt. Man erkennt somit, daß bei der Parallelverschiebung einer Kraft zusätzlich ein Moment auftritt, das als Versetzungsmoment bezeichnet wird. sowie das resultierende Versetzungsmoment Bild 2.31 Zur Parallelverschiebung einer Kraft Die vektorielle Darstellung ergibt sich entsprechend Bild 2.32 für eine Parallelverschiebung der Kraft F z.B. in eine Wirkungslinie durch den Koordinaten-Nullpunkt. Der Betrag des auftretenden Versetzungsmoments ist M=\rxF\ = Fl (2.22) der Momentenvektor steht auf der x-y-Ebene senkrecht und ist an den Punkt 0 gebunden. M^FI Bild 2.32 Parallelverschiebung einer Kraft in den Koordinaten-Nullpunkt Dies läßt sich für ein beliebiges ebenes Kräftesystem verallgemeinern. Verschiebt man sämtliche Kräfte F{ z.B. in den Koordinaten-Nullpunkt, erhält man die Resultierende *= 13 (2.23) MR=e2 J»3| (vgl. Bild 2.33 a). (2.24) Bild 2.33 Reduzierung eines allgemeinen ebenen Kräftesystems auf eine Einzelkraft Wenn R # 0 ist, kann die Resultierende parallel zu sich um die Strecke /o = \MR\ \R\ (2.25) verschoben werden und damit ist das ursprüngliche Kräftesystem auf eine Einzelkraft (sog. Totalresultierende) reduziert worden (Bild 2.33 b). 2.2.6.5 Zerlegung einer Kraft nach drei Richtungen in einer Ebene Auf dem Momentensatz fußt eine von A. Ritter stammende Methode zur Zerlegung einer Kraft nach drei nicht durch einen Punkt gehenden Richtungen, die ein alternatives Verfahren zur zeichnerischen Lösung von Culmann (vgl. Abschnitt 2.2.5.3) darstellt. Die gegebene Kraft Fsoll nach den drei Richtungen 1, 2, 3 zerlegt werden, Bild 2.34. Bild 2.34 Zerlegung einer Kraft nach 3 Richtungen

2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten in der Ebene 25 Zur Ermittlung der Teilkraft Fi wird der Schnittpunkt /der Richtungen 2 und 3 als Momentenbezugspunkt gewählt. Die Teilkraft .F, wird auf der vorgegebenen Wirkungslinie in beliebiger Richtung angenommen. Aus dem Lageplan entnimmt man die Hebelarme / bzw. /, der Momente der Kräfte F bzw. F{ bezüglich des Punkts /. Die (gestrichelt eingezeichneten) Kräfte F2 und P3 liefern keinen Beitrag zum Moment bezüglich /. Aus der Gleichheit der Momente von P sowie Pl bezüglich des Punktes / folgt Fl=Fyly oder Fy=^-F. (2.26) 'l Entsprechendes Vorgehen bezüglich der Schnittpunkte // und /// liefert dann die Teilkräfte in den übrigen Wirkungslinien 2 und 3. Die Richtungen der Teilkräfte ergeben sich aus dem (an sich beliebig wählbaren) Drehsinn der Momente. Zur Zerlegung einer Kraft nach mehr als drei Richtungen (statisch unbestimmtes Problem) ist das Rittersche Verfahren nicht mehr anwendbar. 2.2.7 Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik In den folgenden Betrachtungen handelt es sich wie stets bisher um Kräfte, die an ebenen starren Körpern angreifen. 2.2.7.1 Gleichgewicht eines zentralen Kräftesystems Wie bereits früher erläutert, schneiden sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt. Die Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende verschwindet, d.h. n r = £ p. = o. (2.27) i=l Dieser Bedingung entspricht ein geschlossenes Kräftepolygon im K.P. Bezüglich Kartesischer Komponenten x, y lautet (2.27) ^=1^ = 0, Ry=£Fly = 0 (2.28) i=l i=l d.h. es stehen zwei skalare Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Unter dem Gesichtspunkt der Kinetik bedeutet die Bedingung (2.27), daß ein ruhender materieller Punkt unter der Wirkung eines ebenen Kräftesystems mit geschlossenem Krafteck keine Bewegung erfährt. Er befindet sich im Gleichgewicht, d.h. bleibt in Ruhe. Die beiden skalaren Bedingungen (2.28) entsprechen den zwei Bewegungsmöglichkeiten (oder Freiheitsgraden1), die ein Punkt in der Ebene besitzt, d.h. Verschiebungen in x- und j-Rich- tung. 2.2.7.2 Gleichgewicht eines allgemeinen ebenen Kräftesystems Notwendige Bedingung für Gleichgewicht eines nichtzentralen ebenen Kräftesystems ist ebenfalls das Verschwinden der Resultierenden, d.h. die Erfüllung von (2.27). Wie in den vorigen Abschnitten erläutert, kann das allgemeine Kräftesystem trotz verschwindender Resultierender (Kräftegleichgewichtsbedingung) noch ein resultierendes Moment bezüglich eines Punkts, z. B. des Koordinaten-Nullpunkts, besitzen. Die Bedingung für das Verschwinden des Moments (Momentengleichgewichtsbedingung) lautet n n IM,o)= I«x3) = 0. (2.29) i'=l i = 1 Diese Bedingung muß unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts sein. Gemäß Bild 2.35 gilt für einen um r0 verschobenen Bezugspunkt 0* mit ^ = ^0 + r? n = Z (ri-r0)xPi = inx3-r0x(ifl). (2-30) i=l \i = l / Dies bedeutet, daß für ein Kräftesystem mit verschwindender Resultierenden im Fall des Momentengleichgewichts das resultierende Moment der Kräfte in Bezug auf beliebige Punkte ebenfalls verschwinden muß. ') Der wichtige Begriff „Freiheitsgrad" wird in späteren Abschnitten ausführlich erläutert.

26 2 Statik starrer Körper Die Momentengleichgewichtsbedingung (2.29) lautet in Kartesischen Komponenten n n 1^1(.)=1(^1-^1) = 0 (2.31) i=l i=l sie beinhaltet das Gleichgewicht gegen Verdrehung um die z-Achse (im ebenen Fall). <?-<r \ ^~~^\^ i Bild 2.35 Verschiebung des f^a" Momentenbezugspunkts 2.2.7.3 Gleichgewichtsbedingungen für den ebenen starren Körper Für die Anwendungen in der Statik ebener starrer Körper sind die Gleichgewichtsbedingungen (2.27) und (2.29) bzw. (2.28) und (2.31) von grundlegender Wichtigkeit. Wie Bild 2.36 zeigt, bestehen für eine freie ebene starre Scheibe drei Bewegungsmöglichkeiten: zwei Verschiebungen (Translationen) z. B. in x- und j-Richtung und eine Verdrehung (Rotation) um eine zur x-j-Ebene senkrechte Achse. Eine ebene Scheibe besitzt drei Freiheitsgrade. (TTv Bild 2.36 Bewegungsmöglichkei- -1 _ ten eines ebenen starren Korpers ' x Unter der Wirkung eines beliebigen ebenen Kräftesystems bleibt ein starrer Körper in Ruhe, d. h. er erfährt keine Verschiebung und keine Verdrehung, wenn die genannten Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind, die kurzgefaßt auch (mit £^ = ^ usw. £M, = m) Rx = 0, Ry = 0, M=0 (2.32) formuliert werden können. In alternativer Form können diese drei Bedingungen z. B. auch folgendermaßen verwendet werden ** = 0, M(A) = 0, M(B) = 0 oder Ry = 0, M(A) = 0, M(B) = 0 oder M(A) = 0, M(B) = 0, M(C) = 0 wobei allerdings die Momentenbezugspunkte A, B, C nicht auf einer Geraden liegen dürfen. Man bemerkt, daß die Anzahl der drei voneinander unabhängigen Gleichgewichtsbedingungen der Anzahl der Freiheitsgrade des starren Körpers in der Ebene entspricht. Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen (2.32) lassen sich bei einem vorliegenden ebenen Kräftesystem drei unbekannte Kraftgrößen, z. B. Reaktionskräfte oder Stützkräfte eines in bestimmter Weise aufgelagerten starren Körpers berechnen. Probleme, die sich allein mit den Gleichgewichtsbedingungen lösen lassen, werden als statisch bestimmte oder statisch bestimmbare Probleme bezeichnet. Reichen die Gleichgewichtsbedingungen nicht aus, müssen weitere Informationen, z. B. auf Grund der Verformbarkeit der Körper hinzugezogen werden. Die Fiktion des starren Körpers ist dann zur Beschreibung des Geschehens nicht mehr ausreichend (statisch unbestimmte oder unbestimmbare Probleme). Es muß aber betont werden, daß die Gleichgewichtsbedingungen als sog. statische Grundgleichungen zur Lösung aller mechanischen Probleme grundlegende Bedeutung haben. 2.3 Gleichgewicht ebener gestützter Körper (Tragwerke) Technische Konstruktionen bestehen aus Bauteilen, die in mannigfacher Weise miteinander verbunden sein können. Dabei haben die Bauteile Lasten aufzunehmen bzw. Kräfte zu übertragen. Wenn auf einen Körper Kräfte wirken, die nicht für sich im Gleichgewicht sind, muß der Körper geeignet gegen seine Umgebung abgestützt werden, damit er in Ruhe bleibt, d.h. Gleichgewicht herrscht. Die durch Abstützungen, Bindungen oder Führungen bedingten Kräfte sind die Auflager- oder Reaktionskräfte. Die Hauptaufgabe der Statik ist die Ermittlung dieser Reaktionskräfte an belasteten Bauteilen, die im Gleichgewichtsfall infolge der wirkenden eingeprägten Kräfte geweckt werden. Hierzu werden die Gleichgewichtsbedingungen herangezogen. Wichtige Bauteilelemente sind - Linientragwerke: undehnbare Seile, Stäbe und Balken oder Träger (Bild 2.37)

2.3 Gleichgewicht ebener gestützter Körper (Tragwerke) 27 Fachwerke, bestehend aus gelenkig miteinander verbundenen Stäben (Bild 2.38) Flächentragwerke: Scheiben und Platten (Bild 2.39). Bild 2.37 Linientragwerke a) Seil, b) dünner Stab, c) Balken oder Träger Bild 2.38 Fachwerk gelenkig miteinander verbundene Stäbe Bild 2.39 Flächentragwerke a) Scheibe, b) Platte Linientragwerke besitzen gegenüber der Längsausdehnung geringe Querschnittsabmessungen, die Seile können nur Zugkräfte, die Stäbe nur axiale Zug- oder Druckkräfte, die Balken auch Kräfte quer zu ihrer Achse aufnehmen. Bei den Balken oder Trägern sind geradlinige oder gekrümmte Achsen möglich. Flächentragwerke sind zweidimensionale ebene Gebilde mit gegenüber den übrigen Abmessungen geringer Dicke. Die Scheiben können Kräfte in ihrer Ebene, die Platten auch Kräfte senkrecht zu ihrer Ebene aufnehmen.l) Die Fachwerke werden den Scheiben zugerechnet, sie können Kräfte nur in den Gelenken aufnehmen. ') Bei der Belastung von Platten treten Verbiegungen aus der Ebene heraus aufund es handelt sich nicht mehr um ein Problem der ebenen Statik. Das gleiche gilt für die sog. Schalen, ebenfalls Flächentragwerke, die aber bereits eine Vorkrümmung besitzen und deren Behandlung verwickel- Starre Bauteile gibt es in der Wirklichkeit nicht, zur Untersuchung des Gleichgewichts lassen sich jedoch Seile, Stäbe und Scheiben als starr ansehen. Da in den meisten Fällen nur geringe Verformungen der Bauteile zugelassen werden, wird sich die Kräftekonstellation nach der Verformung kaum von der vor der Verformung unterscheiden. Die Idealisierung der Bauteile als starre Körper ist daher für die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen gerechtfertigt. 2.3.1 Stutzungsarten ebener starrer Körper Ein starrer Körper, der sich in einer gewünschten Lage im Gleichgewicht befinden soll, muß geeignet abgestützt sein. 2.3.1.1 Elementare Stützungsarten Alle vorkommenden Stützungen, Auflagerungen und Führungen lassen sich auf drei Grundarten zurückführen - festes Stützgelenk - verschiebliches Stützgelenk - feste Einspannung. Beim festen Stützgelenk ist die starre Scheibe im Punkt A durch ein Gelenk mit einem Lagerstuhl verbunden, der wiederum fest im Untergrund (oder Fundament) verankert ist, Bild 2.40. starre Scheibe Bild 2.40 Festes Stützgelenk (statisch 2-wertig) Die Scheibe ist um das Gelenk A frei drehbar, vom Lager kann auf die Scheibe eine Kraft beliebiger Richtung übertragen werden. Diese als eine Einzelkraft idealisierte Lagerkraft Ä geht durch das Gelenk (den Gelenkzapfen) hindurch, sie besitzt zwei Komponenten in horizontaler und vertikaler Richtung, z.B. AH und Av (diese sind in Bild 2.40 mit Pfeilen symbolisiert). Es können vom festen Stützgelenk Lagerkräfte in unterschiedlichen Richtungen aufgenommen

28 2 Statik starrer Körper werden, zu deren Beschreibung zwei Komponenten erforderlich sind. Man nennt die Auflagerung deshalb statisch 2-wertig. Zur Berechnung der Lagerkraft Ä (bzw. AH und Aw) sind zwei Bedingungen erforderlich. Die Bewegungsmöglichkeit der Scheibe wird durch die Auflagerung eingeschränkt, man spricht von Auflagerbindungen oder Fesseln. Bei einem freien (unaufgelagerten) ebenen starren Körper in der Ebene, vgl. Bild 2.36, ist y = 3 und a = 0 (/Anzahl der Freiheitsgrade, a Anzahl der Fesseln). Allgemein gilt in der ebenen Statik /=3-a. (2.33) Beim festen Stützgelenk, d.h. der statisch 2- wertigen Lagerung, ist a = 2 und aus (2.33) folgt /= 1, es ist nur noch eine Drehung der starren Scheibe um das Gelenk A möglich. Eine feste (starre) Lagerung einer ebenen starren Scheibe liegt vor, wenn /<0 (2.34) (sog. Starrheitsbedingung). Es können aber Ausnahmefälle vorkommen. Eine alternative Auflagerungsart an Stelle des festen Stützgelenks ist mittels sog. Pendelstützen möglich (Bild 2.41). Im Gelenk A sind zwei starre Stäbe 1 und 2 angeschlossen, die wiederum bei B und C im Untergrund gelenkig befestigt sind. Es können nur Auflagerkräfte in Richtung der Pendelstützen aufgenommen werden. Bild 2.41 Alternative Möglichkeiten einer statisch 2-wer- tigen Lagerung mittels Pendelstützen Beim verschieblichen Stützgelenk (mitunter als „Loslager" bezeichnet) ist der Lagerstuhl nicht mehr fest mit dem Fundament verbunden, sondern längs einer geraden Linie verschieblich, z. B. mittels eines sog. Rollenlagers, Bild 2.42. Es kann nur noch eine Lagerkraft durch den Gelenkzapfen aufgenommen werden, die normal zur Lagerführung gerichtet ist. Die Wirkungslinie der Auflagerkraft ist also von vornherein bekannt. Ein Abheben des Lagerstuhls in dieser Normalenrichtung sei durch geeignete konstruktive Maßnahmen verhindert. Die Lagerung ist statisch 1-wertig, d. h. a = 1 und/= 2, die Scheibe kann sich verschieben und um das Gelenk drehen. Bild 2.42 Verschiebliches Stützgelenk (Rollenlager) statisch 1-wertig Alternative statisch 1-wertige Stützungen sind die Lagerung mittels einer Pendelstütze, die Linienberührung auf zwei glatten Oberflächen oder die sog. Gleithülse mit Gelenk, Bild 2.43. Bild 2.43 Alternative Möglichkeiten einer statisch 1-wer- tigen Lagerung (Pendelstütze, Linienberührung, Gelenkhülse) Bei der festen Entspannung ist die starre Scheibe gegen Verschiebung und Verdrehung gesichert, die Lagerung ist statisch 3-wertig. Neben horizontalen und vertikalen Stützkräften wird noch das sog. Einspannmoment aufgenommen. Dies ist in Bild 2.44 für einen in der Wand eingeklemmten (oder einbetonierten) Balken gezeigt. Das Zustandekommen des Einspannmoments Mz läßt sich mit der angedeuteten unsymmetri- Bild 2.44 Feste Einspannung eines Balkens

2.3 Gleichgewicht ebener gestützter Körper (Tragwerke) 29 sehen Druckverteilung an der Einspannstelle erklären, die ein resultierendes Kräftepaar als Reaktion auf die Belastung ergibt. Es treten bei der festen Einspannung drei Auflagerreaktionen auf, zu deren Ermittlung die drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik ausreichend sind. Ein fest eingespannter ebener starrer Körper ist also statisch bestimmt und gleichzeitig starr gelagert. Alternative statisch 3- wertige Stützungen sind durch Auflagerung mittels dreier Pendelstützen möglich, Bild 2.45. Bild 2.45 Alternative Möglichkeiten einer statisch 3-wer- tigen Lagerung Hierbei dürfen die Richtungen der drei Pendelstützen nicht durch einen Punkt gehen und auch nicht parallel sein. Diese Ausnahmefälle führen auf eine „wackelige Stützung", die Bedingung (2.33) ist zwar formal erfüllt, es liegt aber offensichtlich keine starre Auflagerung vor (Bild 2.46). ?2W vfrz Bild 2.46 Ausnahmefalle bei der Lagerung mittels dreier Pendelstützen („wackelige Lagerung") Es seien noch zwei Beispiele statisch 2-wertiger Stützungen erwähnt, die eine Sonderstellung einnehmen. Dies ist die sog. Parallelführung mittels zweier Pendelstützen (Bild 2.47 a) und die Gleithülse ohne Gelenk (Bild 2.47 b). Es treten jeweils zwei Auflagerreaktionen auf. al 7P^7J 7&& Bild 2.47 Statisch 2-wertige Stützungen Parallelführung (a) Gleithülse ohne Gelenk (b) Es ist üblich, die drei elementaren Stützungsarten in der Ebene schematisch gemäß Bild 2.48 darzustellen. .AT ■ festes Gelenk a=2 1*1 Rollenlager = 7 1*2 ■€ •Einspannung a*3 1-0 Bild 2.48 Schematische Darstellung der drei elementaren Stützungsarten in der Ebene 2.3.1.2 Kombination der elementaren Stützungsarten, statische Bestimmtheit der Lagerungen Wie erwähnt, können bei der Auflagerung von ebenen starren Körpern die genannten elementaren Stützungsarten in beliebiger Kombination auftreten. Beispiele für statisch bestimmte Auflagerungen, gekennzeichnet durch a = 3, /= 0 sind in Bild 2.49 gezeigt. Es sind jeweils drei Auflagerreaktionen zu ermitteln, wofür drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung stehen. -^- ö7? 17f §- /*o Bild 2.49 Statisch bestimmt gelagerte Balken Bei mehr als drei Auflagerbindungen oder Fesseln können die Auflagerreaktionen nicht mehr mit den Gleichgewichtsbedingungen allein ermittelt werden (Verformbarkeit ist zu berücksichtigen). Es handelt sich dann um statisch unbestimmte Auflagerung. Beispiele für 1-fach und 2- fach statisch unbestimmt gelagerte Balken sind in Bild 2.50 gezeigt. Allgemein gilt, daß ein starrer Körper in der Ebene mit a = n Fesseln (n — 3)-fach statisch unbestimmt gelagert ist. ^sr ~2^ i 7* 0 = 5 l=-2 31 ^ -^ Bild 2.50 Beispiele statisch unbestimmt gelagerter Balken

30 2 Statik starrer Körper Ein Balken auf zwei Stützen gemäß Bild 2.51 a ist nicht starr gelagert (/= 1) und für beliebige Belastung statisch unbrauchbar. Andererseits ist beim dreifach gelagerten Balken gemäß Bild 2.51 b zwar die Starrheitsbedingung formal erfüllt (/= 0), es handelt sich aber hier um einen Ausnahmefall, da eine horizontale Beweglichkeit gegeben ist. al ^ Ü7? 77T =s ^~ bl la=3l -Ä= 1=0 Bild 2.51 Statisch unbrauchbare Lagerung (a), Ausnahmefall (b) gerkraft Ä soll andeuten, daß die Wirkungslinie dieser Reaktionskraft zunächst unbekannt ist. Durch die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen auf den isolierten Balken lassen sich die unbekannten Auflagerreaktionen ermitteln. In dem einfachen Beispiel gemäß Bild 2.53 läuft dies auf eine Zerlegung der äußeren Kraft F'm die Wirkungslinien von Ä und B hinaus, die rechnerisch oder grafisch vorgenommen werden kann. Die Richtung der Auflagerkraft B ist durch die Art der Auflagerung bestimmt, die Richtung von Ä ergibt sich mit dem Dreikräftesatz (vgl. Abschnitt 2.2.5.1). Das Krafteck muß sich schließen. 2.3.2 Ermittlung der Auflagerreaktionen bei statisch bestimmt gelagerten Balken Die Auflagerreaktionen (oder Stützkräfte) sind die vom Auflager, d.h. vom Untergrund auf das belastete Bauteil ausgeübten Kräfte (oder Momente). Generell werden diese Auflagerkräfte der Betrachtung zugänglich, wenn das Bauteil gedanklich von den Auflagern gelöst wird (sog. Befreiungsprinzip von Lagrange). Dies ist am einfachen Beispiel einer frei auf dem Untergrund liegenden Walze (Eigengewicht G) in Bild 2.52 erläutert. Den Lageplan zeigt Bild 2.52a. Die Wirkung der Unterlage auf die Walze wird durch die Reaktionskraft R dargestellt, man macht dies im sog. Freikörperbild (Bild 2.52b) deutlich: Die Reaktionskraft wird gedanklich zu einer äußeren Kraft und die Gleichgewichtsbedingung in vertikaler Richtung (z. B. „nach oben" positiv) fordert R — G = 0. Bild 2.52 Auf dem Untergrund aufliegende Walze (a), Freikörperbild mit Reaktionskraft (b) Entsprechendes gilt für einen Balken auf zwei Stützen unter der Wirkung einer Last F (Lageplan Bild 2.53a). Nach der gedanklichen Entfernung der beiden Auflager bei A und B werden im Freikörperbild die zu erwartenden Auflagerreaktionen eingetragen (Bild 2.53 b) und als äußere Kräfte am Balken aufgefaßt. Der geschlängelte Pfeil der Aufla- A 2ST Bild 2.53 Balken auf zwei Stützen, Lagepaln (a) und Freikörperbild (b) 2.3.2.1 Berechnung der Auflagerreaktionen bei Balken auf zwei Stützen Für den in Bild 2.54 gezeigten Balken unter der Wirkung dreier äußerer Kräfte sind in den Auflagern A und B die drei Auflagerreaktionen AH,AV und Bv (in horizontaler bzw. vertikaler Richtung) zu erwarten. Der Einfachheit halber werden hier und im folgenden die Auflagerreaktionen in den Lageplan eingezeichnet (ohne das Freikörperbild eigens darzustellen). ahjS7 4,_ Jh. Bild 2.54 Balken auf zwei Stützen Ermittlung der Auflagerreaktionen Die Kräftegleichgewichtsbedingungen in horizontaler und vertikaler Richtung lauten

2.3 Gleichgewicht ebener gestützter Körper (Tragwerke) 31 - AH-—F3 = 0 T /fy+Äv-fi -F2-4=^3 = 0. (2.35) Dazu kommt die Momentengleichgewichtsbe- dingung z.B. bezüglich des Auflagerpunkts A (Vorzeichenfestsetzung ist beliebig wählbar) A Bvl-Ft ay - F2a2 -F3a3 = Q (2.36) (jeder andere Momentenbezugspunkt, z. B. Auflagerpunkt B, wäre auch möglich). Aus den drei Gleichungen (2.35) und (2.36) ergeben sich die Auflagerreaktionen 1 An — l- * Av-Fl{l-a-f\+F2ft 1 -—F3 1- BV = F^ + F2^ + ~\ß i Die Auflagerkraft Aw erhält man auch direkt aus einer Momentengleichgewichtsbedingung bezüglich des Auflagerpunkts B (Kontrollmöglichkeit!). Entsprechend gewinnt man die Auflagerreaktionen für einen nicht-geraden Träger (Rahmen) gemäß Bild 2.55. Auch hier wird auf die Zeichnung des Freikörperbilds verzichtet. *. h. rAz- T • i Bild 2.55 Nichtgerader Balken (Rahmen) Die Kräftegleichgewichtsbedingung in horizontaler Richtung, sowie zwei Momentengleichge- wichtsbedingungen bezüglich des Auflagerpunkts A und des Punkts / lauten - Ah + F^O A Bva — Flb — F2al — F3a2 = 0 T Ava + Fyb — F2(a — al) — F3 (a — a2) = 0 und liefern sofort die drei unbekannten Auflagerreaktionen. Zur Kontrolle kann die Kräftegleichgewichtsbedingung in vertikaler Richtung dienen. In Bild 2.56 ist ein Balken auf zwei Stützen unter Belastung eines Einzelmoments M0 bei B (z.B. mittels eines Kräftepaars) gezeigt. A -1_ -7-d—r "TZv" \BV Bild 2.56 Balken auf zwei Stützen unter Belastung durch Einzelmoment Die Gleichgewichtsbedingungen lauten - Ä„ = 0 B* Awl-Mo = 0 und daraus Mo / ' Äv Mo l d.h. die Auflagerkraft 2?v ist entgegengesetzt gerichtet wie in Bild 2.56 zunächst eingezeichnet. 2.3.2.2 Grafische Bestimmung der Auflagerreaktionen bei Balken auf zwei Stützen Zur zeichnerischen Lösung wird das Seileckverfahren (vgl. Abschnitt 2.2.5.2) herangezogen. Zunächst werden gemäß Bild 2.57 nur vertikale Belastungskräfte angenommen. Damit liegen die Richtungen der Auflagerreaktionen bei A und B fest. Die Parallele zur Schlußlinie s* des Seilecks teilt im Kräfteplan die beiden Auflagerkräfte A und B ab. Das Krafteck (ausgeartet in eine Linie) muß geschlossen sein. Die Lage der Wirkungslinie der resultierenden Last ist hier von geringem Interesse, sie läßt sich gleichwohl in bekannter Weise finden.

32 2 Statik starrer Körper Bild 2.57 Seileckverfahren zur Ermittlung der Auflagerreaktionen bei Balken (nur vertikale Lasten) Treten an einem Balken auch nicht-vertikale Lasten auf (Bild 2.58), so kennt man zunächst die Richtung der Auflagerkraft im festen Gelenk A nicht. Der Gelenkpunkt selbst liegt aber auf der Wirkungslinie dieser Auflagerkraft, deshalb läßt man den Seilstrahl 0* durch den Gelenkpunkt laufen. Bild 2.58 Seileckverfahren zur Ermittlung der Auflagerreaktionen bei Balken mit nicht-vertikalen Lasten Da die Richtung der Auflagerkraft B bekannt ist, gewinnt man die Größe von B sofort aus dem Kräfteplan mit der Parallelen zur Schlußlinie s*. Aus dem Kräfteplan folgt dann auch die Auflagerkraft A nach Größe und Richtung. Ganz entsprechend wie bei diesem Beispiel ist das grafische Vorgehen zur Ermittlung der Auflagerreaktionen für einen nicht-geraden Balken (Rahmen) auf zwei Stützen. Abschließend wird ein einseitig eingespannter Balken (Bild 2.59) betrachtet. Die vertikale Auflagerreaktion Aw folgt aus dem Kräfteplan, eine Schlußlinie im Seileck läßt sich nicht zeichnen (klaffendes Seileck). Mit Einführung des Polabstands H im Kräfteplan ergibt sich aus der Strecke rjA im Lageplan das auftretende Einspannmoment MA=Rl2a = HrjA. (man vergleiche die ähnlichen Dreiecke im L. P. und K.P.) Bild 2.59 Seileckverfahren für eingespannten Balken 2.3.3 Innere Kräfte und Momente bei Balken Ein Bauteil dient zur Übertragung von Kräften. Für praktische Zwecke muß ein Tragwerk geeignet dimensioniert werden, damit seine Tragfähigkeit für alle Belastungen gewährleistet ist. Hierzu ist der Mechanismus der Kraftübertragung in festen Körpern zu untersuchen, der auf „inneren" Kräften oder Spannungen zwischen den Materialteilchen beruht. Diese Aufgabe wird in der Festigkeitslehre behandelt, es muß dafür die Verformbarkeit der Körper mitberücksichtigt werden. Der erste Schritt zur Ermittlung der Beanspruchung eines Tragwerks, z. B. eines Balkens, ist die Bestimmung der Auflagerreaktionen. Der Balken kann hierbei als starrer Körper angesehen werden. In Wirklichkeit hingegen verformt sich der Balken, er biegt sich durch, kann seine Länge verändern und kann quer zu seiner Längsachse abgeschert werden. Dabei treten die bereits genannten Spannungen auf. Die Statik gestattet nur die Bestimmung von Resultierenden der inneren Kräfte oder Spannungen, dies ist für zahlreiche elementare Bauteile mit den Gleichgewichtsbedingungen allein möglich. Die sich daraus ergebenden Größen Längskraft, Querkraft und Biegemoment, lassen gleichwohl bereits Aussagen über die Bauteilbeanspruchung zu. 2.3.3.1 Schnittkräfte und Schnittmomente Die inneren Kräfte bzw. deren Resultierende in einem festen Körper werden durch einen gedachten Schnitt offengelegt und damit der Berech-

2.3 Gleichgewicht ebener gestützter Körper (Tragwerke) 33 nung zugänglich gemacht (sog. Schnittprinzip). Dies ist zunächst in Bild 2.60 am Beispiel eines Stabs gezeigt, der sich unter zwei gleichgroßen Zugkräften im Gleichgewicht befindet. (Resultierende Zugkraft F liege in der Stabachse). ID-^ Schnitt s Bild 2.60 Innere Kräfte (Normalkraft) beim Stab Durch einen gedachten Schnitt s wird der Stab in zwei Teile zerlegt, deren jeder für sich im Gleichgewicht sein muß. An der Schnittstelle ergeben sich zwei -Querschnitte (auch als Schnittufer bezeichnet), in denen jeweils die Schnittkräfte N (Längs- oder Normalkräfte) anzubringen sind, damit Gleichgewicht für die beiden Stabteile herrschen kann. Die Schnittkräfte repräsentieren jeweils die Wirkung des einen abgeschnittenen Stabteils auf den anderen. Nach dem Wechselwirkungsgesetz treten sie immer paarweise auf, sie sind an den beiden Schnittufern gleich groß aber entgegengesetzt gerichtet. Nach dem Zusammenfügen der beiden Stabteile „verschwinden" die Schnittkräfte als innere Kräfte wieder. Betrachtet man nun einen durch ebene Kräftesysteme beliebig belasteten ebenen Balken (Kräfte und Balkenachse liegen in einer gemeinsamen Ebene, der sog. Lastebene), so treten je nach Belastungsart weitere Resultierende der inneren Kräfte auf, die Querkraft und das Biegemoment (Bild 2.61). Zur Bestimmung dieser Schnittgrößen an einer bestimmten Stelle des Balkens wird dort der gedachte Schnitt s gelegt. Damit der linke Bal- . t fr. h/ i h\ 8 ^F r J N kenteil für sich im Gleichgewicht ist, müssen in der Schnittfläche die Größen Längs- oder Normalkraft Querkraft Biegemoment N Q M sog. Schnittkraftgruppe angebracht werden, sie repräsentieren wiederum die Wirkung des einen abgeschnittenen Balkenteils auf den anderen. An den beiden Schnittufern sind die Schnittkräfte und -momente gleich und entgegengesetzt gerichtet, nach dem Zusammenfügen heben sie sich wieder gegenseitig auf (Bild 2.62). / 0 ■J N N V Bild 2.62 Schnittkraftgruppe beim Balken Die Schnittkraftgruppe beim Balken stellt anschaulich die „Belastung" des betrachteten Querschnitts an der Schnittstelle dar. Darauf fußt die Berechnung der Spannungen in der Festigkeitslehre. Die Bezeichnung Biegemoment erklärt sich daraus, daß die Verbiegung (Krümmungsänderung) des in Wirklichkeit nicht-starren Balkens durch eine bestimmte Spannungsverteilung und eines daraus resultierenden Moments erzeugt wird. Das angewendete Schnittverfahren legt nicht nur die inneren Kräfte und Momente frei, es weist auch den Weg zu deren Berechnung. Auf das in Bild 2.61 dargestellte abgeschnittene Balkenstück werden die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik angewendet und damit lassen sich die unbekannten Schnittgrößen berechnen. Zur Ermittlung von Normalkraft, Querkraft und Biegemoment stehen drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, es handelt sich somit um ein statisch bestimmtes Problem.') Der Balken kann dabei als starr angesehen werden. Zur quantitativen Darstellung der Schnittgrößen bedient man sich einer Vereinbarung über die Vorzeichen. Die in Bild 2.62 am linken (positi- Bild 2.61 Innere Kräfte und Momente be